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2009年11月18日 (水)

立体図形の切り口 第18問 (ラ・サール中学 2007年(平成19年度) 受験算数問題)

 

問題 (ラ・サール中学 2007年 受験算数問題 

     難易度★★★★

 

体積が72c㎥ の立方体ABCD-EFGHについて、辺BFと辺CG

のまん中の点をそれぞれ点M,Nとします。

       Pic_0700q

(1)この立方体を3点A,B,Gを通る平面で切った切り口の図と、

3点A,M,N を通る平面で切った切り口の図を書き込みなさい。 

       Pic_0700q_5

いま、この立方体を3点A,B,Gを通る平面と、3点A,M,Nを通る

平面で切ると、4つの立体に分けることができます。その中で、

BM,MF,CN,NGを含む立体をそれぞれP,Q,R,Sとします。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、角すいの体積は底面積×高さ÷3です。

 

(2)立体Pと立体Rの体積の和は何c㎥ですか。

(3)立体Pは三角すいとなります。この三角すいの体積は何c㎥

   ですか。

(4)立体Sの体積は何c㎥ですか。

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解答

 (1)3点A,B,Gを通る平面で切った切り口は下図1、

3点A,M,Nを通る平面で切った切り口は図2のようになります。

     Pic_0701a

 (2)立体Pと立体Rの体積の和は、立方体を図2のように切った

ときの、辺BCを含む立体(三角柱ABM-DCN)になります。

これは、立方体の体積の4分の1に等しく、72÷4=18c㎥

となります。

 

 (3)立体PはBCとMNの交点を点Lとすると、下の図3のように

三角すいA-BLMとなります。

       Pic_0702a

この立方体の体積は72c㎥ なので、1辺の長さを求めることが

できません。 そこで、1辺の長さを□cmとすると、

□×□×□=72 が成り立ちます。

 

立体Pについて、BM=ML=□/2(cm)で、高さ=AB=□cm

より、体積は、□/2 × □/2 ÷2×□÷3=□×□×□÷24 で、

□×□×□=72 なので、立体Pの体積=72÷24=3c㎥

と求められます。

 

 (4)まず、立体Qと立体Sを合わせた図形について描いてみます。

すると、下の図4のようになります。

(実際は、図2の上の部分を消しゴムで消してみましょう)

        Pic_0703a_2

図4に、図1の切り口を合わせると、下の図5のようになります。

       Pic_0704a

立体Sは、三角すい台LNG-ADH となります。

三角形LNGの面積と三角形ADHは相似で、相似比は1:2

なので、AL,DN,HGの延長の交点を点Tとすると、

下の図6のようになり、TL=LA、TN=ND、TG=GHです。

      Pic_0705a

三角すいT-LNGの体積:三角すいT-ADHの体積

=1×1×1:2×2×2=1:8 なので、

立体Sの体積は、三角すいT-ADHの体積の7/8 です。

 

三角すいT-ADHの体積は、

三角形ADHの面積=□×□÷2

高さ=TH三角形ADHと垂直に交わっているので)=□×2

より、

 □×□÷2×□×2÷3=□×□×□÷3=72÷3=24c㎥

となるので、立体Sの体積は、その7/8で、

  24×7/8=21c㎥

となります。

 

 

 ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

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