図形の移動 第９問 （開成中学 2007年（平成19年度） 算数受験問題）

問題　（開成中学　2007年　算数受験問題）　難易度★★★★

下の図のような長方形ＰＱＲＳと角Ｂが直角である直角三角形

ＡＢＣがあります。長方形ＰＱＲＳのまわりを三角形ＡＢＣを次の

ように回転させます。ただし、はじめ点Ａは点Ｐに、点Ｂは辺ＰＳ上

にあるものとします。

　　　　　　　

①　三角形ＡＢＣを点Ｂを中心に、点Ｃと点Ｓに重なるまで時計回り

　　 に回転させます。

②　次に三角形ＡＢＣを点Ｃを中心に、点Ａと点Ｒが重なるまで時計

　　 回りに回転させます。

③　次に三角形ＡＢＣを点Ａを中心に、点Ｂが辺ＱＲ上にくるまで

　　 時計回りに回転させます。

　（１）この回転を通して、三角形ＡＢＣが動いた部分を太線で囲み

　　　 図示しなさい。

　（２）（１）で図示した太線の長さを答えなさい。ただし、答えは

　　　 小数第２位を四捨五入して小数第１位まで求めなさい。

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解答

　（１）①、②、③の手順で三角形ＡＢＣを回転させると、

図１のようになります。

　　　

（２） 図１の各点について、Ｔ，Ｕ，Ｂ’，Ｃ’として図２のようにし、

円周のＰからＴの部分までの部分をⅠ、ＴからＵまでの部分をⅡ、

ＵからＣ’までの部分をⅢとします。

　　　　

三角形ＲＳＵは、ＲＳ＝ＳＵ＝ＲＵ＝５ｃｍなので、正三角形です。

ⅡとⅢの長さの求め方が問題になります。

扇形ＳＴＵと扇形ＲＵＣ’の中心角をそれぞれ求めるのは難題です。

しかし、両方とも半径５ｃｍなので、中心角の和を求めれば、

Ⅱ、Ⅲの長さの和を求めることができます。

下の図３からわかるように、

角度①＋角度②＝（３６０－９０）×２＝５４０度です。

　　　

ここで、三角形ＲＳＵは正三角形だったので、

角ＳＲＵ＋角ＲＳＵ＝１２０度です。

また、角ＰＳＴ＋角Ｂ’ＲＣ’＝９０度です。

よって、扇形ＳＴＵと扇形ＲＵＣ’の中心角の和

＝５４０－（１２０＋９０）＝３３０度　ということがわかります。

よって、太線のそれぞれの部分の長さは、

ＰＳ＋ＳＲ＋ＲＢ’＋Ｂ’Ｃ’＝７＋５＋４＋３＝１９ （ｃｍ）

Ⅰの長さ＝４×２×３．１４×９０/３６０＝２×３．１４ （ｃｍ）

Ⅱの長さ＋Ⅲの長さ＝５×２×３．１４ × ３３０/３６０

　　　　　　　　　　　　 ＝５５/６ × ３．１４ （ｃｍ）

これらを合計すると、

１９＋（２＋５５/６）×３．１４＝１９＋３５．０６ ≒ ５４．１ （ｃｍ）

となります。

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