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2009年11月 2日 (月)

立体図形の切り口 第17問 (世田谷学園中学 2006年(平成18年度) 入試算数問題)

 

問題 (世田谷学園中学 2006年 入試算数問題) 難易度★★★★

 

1辺12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。

     Pic_0636q

(1)AB、BCのまん中に点M,Nをとり、3点F,M,Nを通る平面で

   立方体を切断するとき、頂点Hをふくむ方の立体の表面積を

   求めなさい。

 

(2)AEを2:1に分ける点をP、CGのまん中の点をQとして、

   3点D,P,Qを通る平面で立方体を切断するとき、頂点Hを

   ふくむ方の立体の体積を求めなさい。

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解答

 (1)立方体ABCD-EFGHの表面積は、12×12×6c㎡です。

切り取られる三角柱F-BMNの三角形BFM,BFN,BMNの

面積の和は、6×12÷2×2+6×6÷2=90c㎡ です。

 

切断面の三角形FMNの面積は、こちらを参照すると、

三角形DMNの面積に等しく、12×12-90=54c㎡ です。

 

よって、求める表面積=12×12×6-90+54=828c㎡

となります。

 

 (2)3点D,P,Qを通る平面が立方体をどのように切断するか

調べます。

 PからDQと平行な線を引き、EFとの交点をRとし、

QからDPと平行な線を引き、FGとの交点をSとすると、

下図のようになります。

     Pic_0637a

三角形CDQと三角形ERPは相似なので、CQ:CD=EP:ERより、

EF=8cm となります。

三角形ADPと三角形GSQは相似なので、AP:AD=GQ:GSより、

SG=9cm となります。

 

また、DPの延長とHEの延長の交点を点T、

DQの延長とHGの延長の交点を点Uとすると、

三角形APDと三角形EPTが相似で、相似比2:1なのでET=6cm

三角形CDQと三角形GUQが相似比1:1なので、GU=12cm

となり、TU上に2点R、Sがあります。

Pic_0638a

ここで、三角すいD-HTUと三角すいP-TER,Q-SGUは相似で、

相似比は高さの比で、DH:PE:QG=12:4:6= 6 : 2 : 3です。

 

よって、その体積比は、

  6×6×6 : 2×2×2 : 3×3×3 = 216 : 8 : 27

です。

求める部分の体積と三角すいD-HTUの体積 の体積比は、

  216-(8+27) : 216 =181 : 216 

となります。

 

三角すいD-HTUの体積=三角形HTUの面積×DHの長さ÷3

=18×24÷2×12÷3=18×24×2c㎥ なので、

求める部分の体積は、

 18×24×2÷216×(216-8-27)=4×181=724c㎥

です。

 

 

 世田谷学園中学の過去問題集は → こちら

 世田谷学園中学の他の問題は → こちら

 

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