平面図形の面積 第６１問 （駒場東邦中学 2005年（平成17年度） 算数受験問題）

問題　（駒場東邦中学　2005年　算数受験問題）　難易度★★★★

四角形ＡＢＣＤは縦８ｃｍ、横１０ｃｍの長方形で、点Ｇは辺ＢＣ上

の点です。台形ＡＢＧＦの面積は台形ＣＤＦＧの面積の１２/１３倍

です。また、三角形ＡＢＨは、ＡＨとＢＨの長さが等しい三角形で、

その面積は三角形ＥＦＧの面積の３/２倍です。このとき、次の各

問に答えなさい。　

　　　

　（１）ＡＦとＢＧの長さの和は何ｃｍですか。

　（２）三角形ＡＢＨの底辺をＡＢとしたとき、高さは何ｃｍですか。

　（３）青い三角形と黄色い三角形の面積の差を答えなさい。

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解答

　（１）四角形ＡＢＣＤの面積は、８×１０＝８０ｃ㎡　です。

また、台形ＡＢＧＦの面積と台形ＣＤＦＧの面積の合計も、

四角形ＡＢＣＤの面積に等しく、８０ｃ㎡です。

台形ＡＢＧＦの面積と台形ＣＤＦＧの面積の比は、

１２/１３：１＝１２：１３なので、

台形ＡＢＧＦの面積は、８０÷（１２＋１３）×１２＝３８．４ｃ㎡ と

求められ、台形ＡＢＧＦの高さをＡＢ（８ｃｍ）と考えれば、

ＡＦとＢＧの長さの和は、３８．４÷８×２＝９．６ｃｍ となります。

（ＢＧ＝６．６ｃｍ）

　（２）三角形ＡＢＨの面積は、三角形ＥＦＧの面積の１．５倍なので

三角形ＥＦＧの面積から求めます。

三角形ＥＦＧの面積は、台形ＣＤＦＧから、三角形ＤＥＦと三角形

ＣＥＧの面積を除けばよく、

台形ＣＤＦＧの面積＝８０－３８．４＝４１．６ｃ㎡　で、

三角形ＤＥＦと三角形ＣＥＧの面積の合計は、底辺が等しく４ｃｍの

三角形の和で、ＤＦ＋ＣＧ＝１０×２－９．６＝１０．４ｃｍ より、

４×１０．４÷２＝２０．８ｃ㎡ なので、

三角形ＥＦＧの面積は、４１．６－２０．８＝２０．８ｃ㎡ です。

よって、三角形ＡＢＨの面積は、２０．８×３/２＝３１．２ｃ㎡ で、

ＡＢを底辺としたときの高さは、３１．２×２÷８＝７．８ｃｍ

となります。

　（３）三角形ＥＦＧは、ＥＨの延長とＡＢ，ＦＧの交点をＩ，Ｊとすると、

下の図１のように、三角形ＥＦＪと三角形ＥＧＪに分けられます。

この２つの三角形は、底辺がＥＪで共通で、高さもそれぞれ４ｃｍ

なので、面積が等しく、（２）より三角形ＥＦＧの面積が２０．８ｃ㎡

なので、ＥＪの長さは、２０．８×２÷８＝５．２ｃｍ です。

（２）よりＨＩの長さが７．８ｃｍなので、ＨＪの長さは、下の図２のように

（７．８＋５．２）－１０＝３ｃｍ となります。

ＡＨ，ＢＨとＦＧの交点をそれぞれＫ，Ｌとすると、

三角形ＨＪＫと三角形ＡＦＫは、合同なことがわかり、

ＨＪを底辺としたときの三角家ＨＪＫの高さは４÷２＝２ｃｍです。

次に、三角形ＨＪＬと三角形ＢＧＬは相似で、

相似比は３：６．６＝５：１１です。

それぞれの三角形の高さは、

４÷（５＋１１）×５＝５/４ｃｍ と、

４－５/４＝１１/４ｃｍです。

よって、黄色い三角形ＨＫＬの面積は、ＨＪを底辺として、

３×（２＋５/４）÷２＝３９/８ （ｃ㎡）

青い三角形ＢＧＬの面積は、

６．６×１１/４÷２＝７２．６/８ （ｃ㎡）　

なので、その差は、

（７２．６－３９）÷８＝３３．６÷８＝４．２ｃ㎡　となります。

　＜別解＞

　黄色い三角形ＨＫＬの面積と、青い三角形ＢＧＬの面積の差は、

両方に四角形ＡＢＬＫの面積を加えた

三角形ＡＢＨの面積と、四角形ＡＢＧＫの面積の差に等しくなります。

（２）より、三角形ＡＢＨの面積＝３１．２ｃ㎡ でした。

四角形ＡＢＧＫの面積＝台形ＡＢＧＦの面積－三角形ＡＦＫの面積

（１）より、台形ＡＢＧＦの面積＝３８．４ｃ㎡ でした。

三角形ＡＦＫは、ＡＦを底辺とすると高さ＝２ｃｍなので、面積は

３×２÷２＝３ｃ㎡　なので、

四角形ＡＢＧＫの面積＝３８．４－３＝３５．４ｃ㎡　です。

よって、黄色い三角形の面積と、青い三角形の面積の差は、

３５．４－３１．２＝４．２ｃ㎡　と求められます。

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