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2009年11月24日 (火)

平面図形の面積 第61問 (駒場東邦中学 2005年(平成17年度) 算数受験問題)

 

問題 (駒場東邦中学 2005年 算数受験問題) 難易度★★★★

 

四角形ABCDは縦8cm、横10cmの長方形で、点Gは辺BC上

の点です。台形ABGFの面積は台形CDFGの面積の12/13倍

です。また、三角形ABHは、AHとBHの長さが等しい三角形で、

その面積は三角形EFGの面積の3/2倍です。このとき、次の各

問に答えなさい。 

   Pic_0716q

 (1)AFとBGの長さの和は何cmですか。

 (2)三角形ABHの底辺をABとしたとき、高さは何cmですか。

 (3)青い三角形と黄色い三角形の面積の差を答えなさい。

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解答

 (1)四角形ABCDの面積は、8×10=80c㎡ です。

また、台形ABGFの面積と台形CDFGの面積の合計も、

四角形ABCDの面積に等しく、80c㎡です。

台形ABGFの面積と台形CDFGの面積の比は、

12/13:1=12:13なので、

台形ABGFの面積は、80÷(12+13)×12=38.4c㎡

求められ、台形ABGFの高さをAB(8cm)と考えれば、

AFとBGの長さの和は、38.4÷8×2=9.6cm となります。

BG=6.6cm

 

 (2)三角形ABHの面積は、三角形EFGの面積の1.5倍なので

三角形EFGの面積から求めます。

  

三角形EFGの面積は、台形CDFGから、三角形DEFと三角形

CEGの面積を除けばよく、

台形CDFGの面積=80-38.4=41.6c㎡ で、

三角形DEFと三角形CEGの面積の合計は、底辺が等しく4cmの

三角形の和で、DF+CG=10×2-9.6=10.4cm より、

4×10.4÷2=20.8c㎡ なので、

 

三角形EFGの面積は、41.6-20.8=20.8c㎡ です。

 

よって、三角形ABHの面積は、20.8×3/2=31.2c㎡ で、

ABを底辺としたときの高さは、31.2×2÷8=7.8cm

となります。

 

 (3)三角形EFGは、EHの延長とAB,FGの交点をI,Jとすると、

下の図1のように、三角形EFJと三角形EGJに分けられます。

Pic_0717a

この2つの三角形は、底辺がEJで共通で、高さもそれぞれ4cm

なので、面積が等しく、(2)より三角形EFGの面積が20.8c㎡

なので、EJの長さは、20.8×2÷8=5.2cm です。

 

(2)よりHIの長さが7.8cmなので、HJの長さは、下の図2のように

Pic_0718a

(7.8+5.2)-10=3cm となります。

 

AH,BHとFGの交点をそれぞれK,Lとすると、

三角形HJKと三角形AFKは、合同なことがわかり、

HJを底辺としたときの三角家HJKの高さは4÷2=2cmです。

Pic_0719a_2

次に、三角形HJLと三角形BGLは相似で、

相似比は3:6.6=5:11です。

それぞれの三角形の高さは、

4÷(5+11)×5=5/4cm と、

4-5/4=11/4cmです。

 

よって、黄色い三角形HKLの面積は、HJを底辺として、

3×(2+5/4)÷2=39/8 (c㎡)

青い三角形BGLの面積は、

6.6×11/4÷2=72.6/8 (c㎡) 

なので、その差は、

(72.6-39)÷8=33.6÷8=4.2c㎡ となります。

  

  

 <別解>

 黄色い三角形HKLの面積と、青い三角形BGLの面積の差は、

両方に四角形ABLKの面積を加えた

三角形ABHの面積と、四角形ABGKの面積の差に等しくなります。

Pic_0720a

(2)より、三角形ABHの面積=31.2c㎡ でした。

 

四角形ABGKの面積=台形ABGFの面積-三角形AFKの面積

(1)より、台形ABGFの面積=38.4c㎡ でした。

三角形AFKは、AFを底辺とすると高さ=2cmなので、面積は

3×2÷2=3c㎡ なので、

四角形ABGKの面積=38.4-3=35.4c㎡ です。

 

よって、黄色い三角形の面積と、青い三角形の面積の差は、

35.4-31.2=4.2c㎡ と求められます。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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