影の映り方 第１問 （甲陽学院中学 2005年（平成17年度） 受験算数問題）

問題　（甲陽学院中学　2005年　受験算数問題）　難易度★★★

１辺１０ｃｍの立方体の形をした箱があります。この箱の中に

両端が頂点Ａ，Ｇにくるように、まっすぐな棒を入れます。

（１）ＢＦのまん中の点Ｉに光源を置き、点Ｉから頂点Ｆまでの辺上を

移動させます。このとき、面ＡＥＧＤと面ＤＨＧＣ上に棒ＡＧの影が

映る部分を図に示しなさい。図の・点は、それぞれの辺のまん中

の点を表しています。

　（２）次に棒を取り出して、頂点Ｃ，Ｅが両端にくるように置きなおし、

再び光源を点Ｉから頂点Ｆまで移動させました。面ＤＨＧＣ上に、

このときも、（１）のときも、ともに影が映らない部分の面積を

答えなさい。

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解答

　（１）棒がまっすぐなので影もまっすぐになります。

　　　 （当たり前ですが）

棒のまん中の点を点Ｍとすると、光源がＩにあるとき、Ｉから出た光は

点Ｍを通り、ＤＨのまん中の点Ｊに達します。Ｉから出た光は、棒の

両端のＡ，Ｇを照らすと、影はＡ，Ｇにできます。

よって、光源がＩにあるとき、棒の影は、線ＡＪとＪＧとして

映ります（下の図１の赤線）

　次に、光源が頂点Ｆにきたとき、Ｆから出た光は点Ｍを通って

対角線上の頂点Ｄに到達します。よって、棒ＡＧの影は、

線ＡＤとＤＧとして映ります（下の図１の青線）

　よって、光源が点Ｉから頂点Ｆに移動したときにできる影が

映る部分は、線ＡＪからＡＤまでの部分と、線ＪＧからＤＧまでの部分

ということになり、下の図１の灰色の部分となります。

　（２）棒が頂点Ｃ，Ｅを両端として置かれたときにできる影は、

（１）と同様に考えると、下の図２のようになります。これを図１の影と

重ねると、図３のようになります。

ＤＧとＪＣの交点をＰとし、Ｐを通りＤＣに平行な直線とＤＨ，ＣＧの

交点をそれぞれＱ，Ｒとすると、三角形ＤＪＰと三角形ＧＣＰは相似で

ＤＪ：ＣＧ＝１：２なので、ＱＰ：ＰＲ＝１：２となり、ＱＰ＝１０/３（ｃｍ）、

ＰＲ＝２０/３（ｃｍ）　です。

よって、影が映らない部分の面積＝三角形ＪＨＧ＋三角形ＣＧＰ

＝１０×５÷２＋１０×２０/３÷２＝２５＋１００/３

＝５８と１/３（ｃ㎡）　となります。

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