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2009年10月 7日 (水)

積み木の問題 第4問 (鷗友学園女子中学 2009年(平成21年度) 入試算数問題)

 

問題 (鷗友学園女子中学 2009年 入試算数問題) 難易度★★★

 

1辺3cmの立方体と1辺6cmの立方体を、ひとつの頂点が重なる

ようにはり付けて、図のような立体を作りました。次に、各立方体の

3つの頂点A,B,Cを通る平面で、この立体を切りました。このとき

次の問に答えなさい。

Pic_0526

 (1)立体の切り口を図に描き込みなさい。

 (2)切断された立体のうち、体積の最も大きいものの体積を

    求めなさい。

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解答

 (1)頂点A,B,Cを通る切断面がどのようになっているのか

考えましょう。辺ABを通るので、点Cを通り辺ABと平行な線を

引いてみます。立体を真上から見た図に描いてみると下図の

ようになります。ABは正方形の対角線なので、図のように

対角線CDを通ります。

     Pic_0527

対角線CDは、小さい方の立方体の頂点Eを通りますので、

この切断面は、AE,BEを通ることがわかります。

Pic_0528

C,DからAE,BEと平行な線を引くと、ともに正方形の対角線

なので、大きい立方体の頂点Fで交わります。

よって、A,B,Cを通る平面で切ったときにできる切り口は、

上図のようになります。

 

 (2)立方体2つをはり合わせたものから、三角すい2つを除いた

立体が、体積が最も大きくなり、その体積は、

(6×6×6+3×3×3)-(6×6÷2×6÷3+3×3÷2×3÷3)

=180+22.5=202.5c㎥ となります。

 

 

 鴎友学園女子中学の過去問題集は → こちら

 鷗友学園女子中学の他の問題は → こちら

 

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