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2009年10月14日 (水)

平面図形の面積 第56問 (武蔵中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題 改題)

 

問題 (武蔵中学 2009年 受験算数問題) 難易度★★★★

 

直角二等辺三角形ABCの各頂点が、図のように平行な線

①、②、③の上にあります。このとき①と②の間は5cm、②と③の

間は3cmでした。線②とACの交点をDとしたとき、三角形ABCの

面積を求めなさい。

Pic_0548

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解答

 頂点A,Cから線②へ垂線を下ろし、交点をそれぞれ点E,Fと

すると、AE=5cm、CF=3cmです。

 

 次に三角形ABEと三角形BCFについて、

角ABE+角BAE=90度

角ABE+角EBC=90度 より、角BAE=角EBC

 

角BCF+角EBC=90度 より、角ABE=角BCF

 

また、三角形ABCは直角二等辺三角形なので、AB=BCより、

三角形ABEと三角形BCFは合同であることがわかります。

Pic_0549

よって、BE=CF=3cm、AE=BF=5cmより、EF=5-3=2cm

 

次に、三角形AEDと三角形CFDは3つの角が等しいので相似で、

その相似比は5:3です。

よって、EDの長さ=EFの長さ÷8×5=5/4cm です。

 

三角形ABCの面積は、BDを底辺とする高さ(5+3)cmの三角形

と見れます。BD=BE+ED=3+5/4=17/4cm ですから、

三角形ABCの面積=17/4×(5+3)÷2=17c㎡ となります。

   

 

 <別解>

  頂点Bを通り、①、③と垂直になる線を引きます。

すると、下の図のように直角三角形ABP,BCQができます。 

Pic_0549

この青と黄色の直角三角形は、3つの角度がすべて等しく、

AB=AC=5cm なので、合同であることがわかります。

 

よって、PA=3cm、QC=5cm とわかります。

 

直角二等辺三角形ABC の面積は、台形APQC から、

直角三角形ABP,BCQ の面積を除けば求めることができ、

  台形APQC の面積=(3+5)×8÷2=32c㎡

なので、

  直角二等辺三角形の面積=32-(3×5÷2)×2=17c㎡

となります。

 

 

 武蔵中学の過去問題集は → こちら

 武蔵中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

私は少し違う解き方をしました。

Bから①と③に垂線を引き①との交点をE、③との交点をFとすると三角形ABEと三角形BCFが合同になるので、EA=3cm、FC=5cmと分かります。
あとは台形EACFから三角形ABEと三角形BCFを引けば32-7.5-7.5=17c㎡になります。

投稿: 万打無 | 2010年11月21日 (日) 19時22分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘の解き方でも解答に導くことができますね。
細かい分数もないので、すっきりする解法だと
思い、別解として掲載させていただきました。

またコメントよろしくお願いします。

投稿: 桜組 | 2010年11月22日 (月) 17時35分

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