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2009年10月 7日 (水)

場合の数 並べ方 第7問 (聖光学院中学 2008年(平成20年度) 中学入試算数問題)

 

問題 (聖光学院中学 2008年 中学入試算数問題) 

     難易度★★★★

 

1~9の数字のどれかを映し出す画面がA,B,Cの順に

並んでいます。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)画面A,B,Cに映る数字が全て異なるのは何通りありますか。

(2)画面A,B,Cに映る数字が2種類なのは何通りありますか。

(3)Aに映った数字よりBに映った数字が、Bに映った数字より

   Cに映った数字が大きいのは何通りありますか。

(4)Bに映った数字が、A,Cに映った数字よりも大きいのは

   何通りありますか。

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解答

 (1)Aに映る数字は1~9の9通り。

次にBに映る数字は、Aに映った数字を除いた8通り。

次にCに映る数字は、A,Bに映った数字を除いた7通りあるので、

合計すると、数字の並び方は、9×8×7=504通り となります。

 

 (2)Aに映る数字は9通り、Bに映る数字は8通り、

Cに映る数字は、A、Bのどちらもよいので、数字の選び方

9×8=72通りあります。

 

 次に2種類の数字(2個現れる数字を○、1個のものを□とします)

の並び方は、(○、○、□)、(○、□、○)、(□、○、○)の3通り

あるので、数字の並び方の合計は、72×3=216通り です。

 

 (3)AよりB,BよりCが大きいので、A,B,Cはすべて異なります。

すべて異なる並び方は、(1)より504通りです。

そのうち何通りがAよりB,BよりCが大きいかを調べればよいです。

(大、中、小)という3つの数字について考えましょう。

A,B,Cの画面に映るパターンとしては、

(小、中、大)、(小、大、中)、(中、小、大)、(中、大、小)

(大、小、中)、(大、中、小) の6通りの映り方があります。

この6通りは当然(1)の504通りに含まれるのですが、

(3)の条件にあてはまるのは、(小、中、大)の1つだけです。 

 たとえば、(1,4,9)の3つの数字について考えると、

(1,4,9)・・・これは条件に合う

(1,9,4)、(4,1,9)、(4,9,1)、(9,1,4)、(9,4,1)

 

 このように、どんな3つの数字を選んでも、(3)の条件に

当てはまるものは、その並び方6通りのうちの1通りだけです。

 

 よって、(3)の答えは、(1)の504通りを6で割って、

504÷6=84通り となります。

 

 (4)(3)と似ていますね。

まず、Bに映った数字が一番大きいのは、というと、

(3)の(1,4,9)のパターンで見ると、

(1,9,4)、(4,9,1)・・・2通りは条件に当てはまる

(1,4,9)、(4,1,9)、(9,1,4)、(9,4,1)・・・不適

なので、(1)の504通りのうちの6分の2、

すなわち504÷3=168通り が当てはまります。

 

 次に、(1,9,1)のように、A,Cが同じ場合があります。

Bが9のとき、A,Cには1~8の8通り

Bが8のとき、A,Cには1~7の7通り

・・・・

Bが2のとき、A,Cには1だけ、の1通り

となり、このような場合は、

1+2+3+・・・+8=9×8÷2=36通り となります。

 

よって、合計すると、168+36=204通り が答えです。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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