規則性の問題 図形の復元 第１問 （桜蔭中学 2008年（平成20年度） 算数入試問題）

問題　（桜蔭中学　2008年　算数入試問題）　難易度★★★★★

ある長さの長方形の紙テープがあります。下の図のように、この

テープを半分に折って、折ったもののまん中で切ると、最初の長さの

２分の１のものが１枚と、４分の１のものが２枚できます。

このとき、次の問（１）～（４）に答えなさい。

（２）～（４）は（１）のように答えなさい。

（１）次の①～④に適当な数を入れなさい。

　　　（ただし、①は③より小さい数とします。）

　半分に折ることを２回続けてできたものをまん中で切ると、

　最初の長さの（①）分の１のものが（②）枚、（③）分の１のものが

　（④）枚できます。

（２）半分に折ることを３回続けてできたものをまん中で切ると、

　 　最初の長さの何分の１のものが何枚できますか。

（３）半分に折ることを１０回続けてできたものをまん中で切ると、

　 　最初の長さの何分の１のものが何枚できますか。

（４）次に、前と同じように半分に折ることを３回続けてできた

　　 ものを ３等分する位置で２ヵ所切ります。最初の長さの

　　 何分の１のものが何枚できますか。また、半分に折ることを

　　 １０回続けてできたものを ３等分する位置で２ヵ所切ると、

　　 どのようになりますか。

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解答

　（１）１回折ると、元の２分の１になります。

２回折ると元の２×２＝４分の１になります。それをまん中で切ると、

紙テープの両端は右側にくるので、４×２＝８分の１の切れ端２枚と

（８分の１）×２＝４分の１の紙が｛１－（１/８）×２｝÷１/４＝３枚

（式の意味は、全体（１）から両端（１/８　×２）を引いたものを、

一枚の大きさ（１/４）で割れば、その枚数を求められます。）

合計５枚の紙に分かれます。　　　

①は③より小さいので、①：４、②：３、③：８、④：２　です。

　（２）３回半分に折り続けると、紙は２×２×２＝８分の１になり、

それを半分のところで切ると、８×２＝１６分の１のものが２枚と、

（１６分の１）×２＝８分の１のものが、

｛１－（１/１６）×２｝÷（１/８）＝７枚　です。

よって答えは、

　８分の１のものが７枚、１６分の１のものが２枚です。

　（３）１０回折ると、元の紙テープの

２を１０回掛けたもの＝１０２４分の１　になり、それを半分の

ところで切るので、１０２４×２＝２０４８分の１のものが２枚、

1024分の１のものが、｛１－（1/2048）×２｝÷(1/1024）＝１０２３枚

できます。　

　（４）３等分したものを開いていく図を描いてみましょう。

　　　　

３回続けて半分に折ると、紙テープは２×２×２＝８分の１の長さで、

それを３等分に切ると、最も小さいのは２４分の１の長さになります。

大きい方は（１/２４）×２＝１２分の１の長さです。

紙の個数は、図の下段のものをもう１回開いたときなので、

２４分の１のものが１０枚、１２分の１のものが７枚　できます。

１０回続けて半分に折ると、紙テープは1024分の１の長さで、

それを３等分するので、小さい方の紙は3072分の１の長さ、

大きい方は(1/3072)×２＝1536分の１の長さになります。

紙テープの個数の増え方の規則は下図のようになります。

小さい紙テープを図のように黄色いものと灰色のものの２種類に

分ければ、灰色のものは折った回数だけ２倍に増えることがわかり、

１０回折ると、２×２×２×２×２×２×２×２×２×２＝１０２４枚で、

両端に黄色い紙が２枚あるので、合計して小さい紙は１０２６枚、

大きい紙は、灰色の紙の枚数－１＝１０２３枚　です。

よって答えは、

　1536分の１の紙が1023枚、3072分の１の紙が1026枚　

となります。

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