平面図形の角度 第１９問 （渋谷教育学園渋谷中学 2007年、女子学院中学 2005年 受験算数問題）

問題　（渋谷教育学園渋谷中学　2007年、女子学院中学　2005年

　　　　 受験算数問題）　難易度★★★★★

下図１，２のように、正方形ABCDの中に三角形があるとき、

次の問に答えなさい。

　（１）図１の角ＡＰＱの大きさを求めなさい。

　　　（渋谷教育学園渋谷中学　2007年）

　（２）図２の角CPQと角PQAの大きさを求めなさい。

　　　（女子学院中学　2005年）

　　　　

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解答　

　（１）図１で、わかる角度を描き込むと、下の図３のようになります。

　　　　　　

ここで、角ＢＡＰ（２２°）と角ＤＡＱ（２３°）を足すと４５°になることに

着目して、頂点Ａから２３°の直線を引いてみます（図４）

さらに、ＣＢを延ばして、先ほどの線との交点をＲとすると（図５）、

三角形ＡＤＱと三角形ＡＢＲは、ＡＢ＝ＡＤなので、合同になります。

よって、ＡＱ＝ＡＲで、角ＰＡＱ＝角ＰＡＲ＝４５°より、

三角形ＡＰＱと三角形ＡＰＲが合同になります。

ゆえに、角ＡＰＱ＝角ＡＰＲ＝６８°　となります。

　（２）（１）と同様に、頂点Ｃから角度２４°の直線を引き、

ＡＤとの交点を点Ｒとすると、三角形ＣＰＱと三角形ＣＲＱが

合同となります。（図６）

　　

よって、角ＣＰＱ＝角ＣＲＱ＝６６°で、角ＣＱＰ＝角ＣＱＲ＝６９°

なので、角ＡＱＰ＝１８０－６９×２＝４２°　となります。

　＜別解＞

　図に対角線AC,BDを描き、AC,BDの交点O、BDとPC、QCの交点を

それぞれR,Sとして、それぞれの角度を書き込むと下の図７のように

なります。

　　　　　　

すると、三角形ＡＰＣと三角形ＤＳＣ、三角形ＡＱＣと三角形ＢＲＣが

相似で（図８）

　　　　　　

その相似比は、正方形の1辺をＬ，対角線ACの長さをＭとすると、

ともに、ＢＣ：ＡＣ＝ＣＤ：ＣＡ＝Ｌ：Ｍ　となり、

ＣＲ：ＣＱ＝ＣＳ：ＣＰ＝Ｌ：Ｍ　ということがわかります。

ここで三角形CRSと三角形CQPに注目すると、

角PCQが共通で、辺の長さが共にＬ：Ｍということから、

相似比Ｌ：Ｍで相似であることがわかります（図９）

　　　　　

よって、角ＣＰＱ＝角ＣＳＲ＝６６°、角ＣＱＰ＝角ＣＲＳ＝６９°で、

角AQP＝１８０－（角CQD＋角ＣＱＰ）＝４２°　となります。

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