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2009年10月28日 (水)

積み木の問題 第6問 (清風南海中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題)

 

問題 (清風南海中学 2007年 算数入試問題)

    難易度★★★★★

 

図1のような、底面が正三角形の三角柱ABC-DEFがあり、

頂点Bを目盛り「0」として、頂点Eを通り、頂点Fまで、1cmごとに

18までの目盛りがあります。点P,Qが辺BEおよびEFの目盛りの

上のどこかにあるとき、次の問に答えなさい。 なお、

三角すいの体積=底面積×高さ÷3 で求められるものとします。

     Pic_0612q_2

 (1)3点A,C,Pを通る平面で三角柱を切断すると、頂点Bを

   ふくむ方の立体(立体Ⅰとする)と頂点Dをふくむ方の

   立体(立体Ⅱとする)の体積比が1:11になりました。

   点Pは、いくつの目盛りの上にありますか。

 

 (2)点Pが「14」の目盛りの上にあるとき、立体Ⅰと立体Ⅱの

    体積比を求めなさい。

 

 

次に、図3のような1辺1cmの三角柱(立体Z)を積み重ねて、

図2のように三角柱ABC-DEFを作り直しました。

       Pic_0613q

 (3)点Pが「9」の目盛りの上に、点Qが「15」の目盛りにあるとき、

    3点A,C,Pを通る平面と、3点A,C,Qを通る平面で三角柱

    ABC-DEFを切断しました。頂点Bをふくむ方の立体

   (立体Ⅰ)と、頂点Dをふくむ方の立体(立体Ⅱ)と、残りの立体

   (立体Ⅲ)の体積比を求めなさい。

 

 (4)(3)のとき、立体Ⅲの中に、切断されなかった立体Zは

    何個ありますか。

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解答

 (1)1:11に三角柱が分けられているので、三角柱の体積を

①+⑪=⑫とします。

 

三角柱の体積=三角形ABCの面積×12cm 

三角すいE-ABCの体積=三角形ABCの面積×12cm÷3

 

三角柱の体積=⑫ としたので、

三角すいE-ABCの体積= ⑫ ÷ 3 = ④ となります。

 

立体Ⅰの体積=① ですので、

立体Ⅰの体積 : 三角すいE-ABCの体積=1 : 4 です。

ここで、立体Ⅰは、三角すいE-ABCの体積より小さいことが

わかったので、点Pは辺BE上の目盛りにあることになります。

 

すると、立体Ⅰの形は、三角すいP-ABC となりますので、

体積比1:4というのは、高さの比に置き換えることができます。

つまり、BP : BE = 1 : 4 です。

BE=12cmなので、BP=12÷4=3cm と求まり、

点Pは「」の目盛りにあることがわかります。

 

 (2)「14」の目盛りは辺EF上にあり、EP=2cm、PF=4cm

です。面ABCと面DEFは平行なので、3点A,C,Pを通る面は、

点Pを通りACと平行な線を通ります。その線と辺DEの交点を

点Rとすると、図4のようになります。

    Pic_0614a

すると、立体ABC-EPR(立体Ⅰ)は、三角すい台となります。

AR,CPの延長と、BEの延長は、1点Sで交わります。

三角形ABCと三角形EPRは相似で、相似比は2:6=1:3なので、

三角すいS-EPRの体積 : 三角すいS-ABCの体積

=1×1×1 : 3×3×3 = 1 : 27 となります。

三角すいS-ABCの体積 = 「27」 とすると、

三角すい台ABC-EPR(立体Ⅰ)の体積=「27」-「1」=「26」

となります。

     Pic_0615a

SE:SB=1:3なので、SE=6cm です。

三角柱ABC-DEFの高さが12cmから18cmになると、

その体積は、三角すいS-ABCの体積=「27」だったので、

「27」×3=「81」となり、三角柱ABC-DEFの体積は、その2/3、

すなわち、「81」×2/3=「54」です。

 

立体Ⅰの体積=「26」 なので、

立体Ⅱの体積=「54」-「26」=「28」 となり、

立体Ⅰの体積 : 立体Ⅱの体積 = 「26」 : 「28」 = 13 : 14 

となります。

 

 (3)点Qを通り、CAと平行な線と辺DEの交点を点Rとすると、

4点A,C,Q,Rは同一平面上にあります。この平面とBEの延長の

交点を点Sとすると、図6のようになります。

    Pic_0616a

三角すいP-ABCの体積 : 三角すいS-ABCの体積

= PBの長さ : SBの長さ = 9 : 24 となります。

(底面積:三角形ABCの面積が等しいので、高さの比になります)

 

三角すいP-ABC(立体Ⅰ)の体積を「9」とすると、

三角すいS-ABCの体積=「24」 で、

三角すいS-ABC と 三角すいS-EQR は相似で、相似比は1:2

より、体積比は1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 となります。

よって、三角すいS-EQRの体積=「24」÷8=「3」 です。

 

ゆえに、三角すい台ABC-EQRの体積=「24」-「3」=「21」

となります。

立体Ⅰの体積=「9」なので、立体Ⅲの体積=「21」-「9」=「12」

となります。

 

立体Ⅰの体積=「9」のとき、三角柱ABC-DEFの体積は、

「9」÷9×12×3=「36」 です。

よって、立体Ⅱの体積=「36」-「21」=「15」 です。

 

ゆえに、立体Ⅰの体積 : 立体Ⅱの体積 : 立体Ⅲの体積

=「9」 : 「15」 : 「12」 = 3 : 5 : 4 となります。

 

 (4)3点A,C,Pを通る平面と、3点A,C,Qを通る平面

どちらも辺ACを通るので、辺ACと平行です。

よって、辺ACを軸として、辺ACを真上から見るように見ると、

下の図7のように、平面は直線CPとCQになります

  Pic_0617a_2

長方形BEFCの中の切断されていない正方形の数を調べます。

まず、CPが切断した正方形の数について、CPは図8のように

たて9cm、よこ6cmの長方形BCGPの対角線なので、

たて3cm、よこ2cmの長方形内の6個の正方形のうち、

4個を切断して進みます。

      Pic_0618a_2

次に、CQは、たて12cm、よこ3cmの長方形CFQHの対角線

なので、図9のように、たて4cm、よこ1cmの長方形の4個の

正方形を切断していく線になります。

      Pic_0619a

図8と図9を合わせると、図10のようになり、緑の部分の

正方形が切断されないことがわかります。

      Pic_0620a  

この図は辺CAを軸として真上から見ているので、

緑の部分の正方形の後ろにある立体Zも切断されていないことに

なります。後ろに立体Zが何個あるかというと、下の図11のように

      Pic_0621a

1,3,5,7,9・・・(個)で、立体Ⅲには、

全部で1×3+3×4+5×6+7×3+9×1=75個 

切断されなかった立体Z があることがわかります。

 

 

 清風南海中学の過去問題集は → こちら

 清風南海中学の他の問題は → こちら

 

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