平面図形の面積 第５７問 （麻布中学 2007年（平成19年度） 算数入試問題）

問題　（麻布中学　2007年　算数入試問題）　難易度★★★★

図の線は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。

図１の正三角形の面積を１ｃ㎡とするとき、次の問に答えなさい。

（１）図２の正三角形の面積を求めなさい。

（２）線の交点を頂点とするような、面積が１３ｃ㎡の正三角形を１つ

　　 図４の上に描きなさい。

（３）図３のような、面積がそれぞれ３ｃ㎡、７ｃ㎡、１３ｃ㎡の正三角形

　　 で囲まれた三角形ＡＢＣを、図４の上に描きなさい。ただし、

　　 頂点Ａ，Ｂ，Ｃは線の交点になるようにします。頂点Ａ，Ｂ，Ｃの

　　 記号も書きなさい。

（４）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

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解答

　（１）図２の正三角形の１辺は、図５のように、４つの１ｃ㎡の

正三角形からなる平行四辺形の対角線になっています。

　　　　　

よって、この正三角形は、中央の１ｃ㎡の正三角形と、

４÷２＝２ｃ㎡の三角形が３個集まったものなので、

その面積は、

　 １＋２×３＝７ｃ㎡　

となります。

　（２）図６のような正三角形は、面積が１３ｃ㎡となります。

　　　　　

６個の正三角形から成る平行四辺形の対角線を１辺とする

正三角形は、中央に４つの正三角形と、６÷２＝３ｃ㎡の三角形３個

でできているので、面積は

　 ４＋３×３＝１３ｃ㎡

です。

　（３）１３ｃ㎡の正三角形は（２）で描いたので、そこに図を加えて

いきます。まず、（１）で７ｃ㎡のものがわかっているので、それを

描くと、図７のようになります。

さらに３ｃ㎡の正三角形を加えると描き上げることができます。

　（４）三角形ＡＢＣは、図８のように分けて面積を求めることができ、

　　　　　　

緑の部分は同じ面積になるので、辺ＡＣは正三角形６個から成る

平行四辺形の対角線になり、辺ＡＢは正三角形２個から成る

平行四辺形の対角線となり、中央に１つの正三角形が残ります。

よって、三角形ＡＢＣの面積は、

　　 ６÷２＋２÷２＋１＝５ｃ㎡　

となります。

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