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2009年10月 6日 (火)

立体図形の切り口 第13問 (巣鴨中学 2006年、立教新座中学 2008年 算数受験問題 類題)

 

問題 (巣鴨中学 2006年、立教新座中学 2008年 

     算数受験問題) 難易度★★★★★

 

1辺9cmの立方体の4つの頂点を選び線を引くと、図のように

三角すいABCDになります。頂点Aから6cmの立方体の辺上に

点P,Q,Rをとり、頂点Bから6cmの立方体の辺上に点Sをとり

ました。このとき次の問に答えなさい。

  Pic_0519

(1)三角すいABCDの体積を求めなさい。

   (立教新座中学 2008年 算数受験問題 類題)

(2)3点P,Q,Rを通る平面で三角すいABCDを切断したとき

   頂点Aを含む方の立体の体積を求めなさい。

(3)3点P,Q,Sを通る平面で三角すいABCDを切断したとき

   頂点Aを含む方の立体の体積を求めなさい。

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解答

 (1)三角すいABCDは、立方体から1辺9cmの三角すい4個を

取り除いたものなので、その体積は

   9×9×9-9×9÷2×9÷3=243c㎥ 

となります。

 

 (2)PQとADの交点をL、QRとABの交点をM,PRとACの交点を

Nとすると、3点P,Q,Rを通る平面で三角すいABCDを切断すると

三角すいA-LMNとなります。

  Pic_0521

三角すいABCDと三角すいALMNは、

三角形ABDと三角形AML、三角形ABCと三角形AMN、

三角形ACDと三角形ANLが相似で、L,M,NがAD,AB,AC上に

あることから、相似です。その相似比は、下図のように

Pic_0520

直角二等辺三角形APQと直角二等辺三角形AP’Q’の相似比は

18:6=3:1で、AD:AL=3:1なので、

三角すいABCD と 三角すいALMNの体積比は、

   3×3×3 : 1×1×1 = 27 : 1

となり、(1)より三角すいABCDの体積が243c㎥ なので、

三角錐ALMNの体積は、

   243÷27=9c㎥ 

と求められます。 

  

 (3)まず、3点P,Q,Sを通る切断面がどのようになっているのか

考えましょう。この切断面を平面PQSと呼ぶことにします。

 

 PQを通る平面なので、点Sを通り、PQと平行な線も、

平面PQR上に含まれ、その線と立方体の交点を下図のように

点Tとすると、点Tは頂点Cから6cmの位置になります。

(PQとSTは平行なので)

  Pic_0522

次に、点Sを通りPTに平行な線と、点Tを通りQSに平行な線

も平面PQS上に含まれるので、下図のように線を引き、

BDとの交点を点X,CDとの交点を点Yとし、立方体との交点を

それぞれ点U,Vとします。

   Pic_0523

 すると、平面PQSで切断されるのは、三角すいABCDの

面LXYで切断されることと同じことで、下図のように

      Pic_0524

DL=DX=DYとなり、L,X,YはDA,DB,DC上にあることから

三角すいD-LXYと三角すいD-ABCは相似で、

DL:DA=2:3なので、その体積比は

2×2×2 : 3×3×3 = 8 : 27 とわかります。

 

よって、平面PQSで切断したとき、頂点Aを含む方の立体の体積は、

三角すいABCDの体積の(27-8)/27=19/27 なので、

三角すいABCDの体積は、(1)より、243c㎥なので、

求める立体の体積は、

   243×19/27=171c㎥ 

となります。

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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