立体図形の展開図 第１２問 （開成中学 2006年（平成18年度） 入試算数問題）

問題　（開成中学　2006年　入試算数問題）　難易度★★★★

図１のような厚紙があります。６つの正方形は一辺の長さが６ｃｍ

です。また点Ｐから点Ａまでの長さは２ｃｍです。点線のところで

厚紙を折り、図２のように立方体を作りました。このとき、くっつく

辺は全てのりづけしました。次に、この立方体を、Ｐ，Ｂ，Ｃを通る

平面で切り、２つに分けました。ところが、その後にのりづけした

ところが全てはがれてしまいました。このとき次の問に答えなさい。

　（１）厚紙は何個の部分に分かれましたか。　　

　（２）何個かに分かれた部分のうち、最も面積の大きいものの

　　　 面積を求めなさい。

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解答

　（１）図１の展開図を組み立てて立方体を作ると図３のようになり、

Ｐ，Ｂ，Ｃを通る線も図のようになります。

なお、立方体への組み立て動画は → こちら

Ｐ，Ｂ，Ｃを通る平面で立方体を切断して、再び展開図に戻すと

厚紙は図４のように、赤、青、黄、緑の４つの部分に分かれます。

　（２）図４の赤、青、黄、緑のうち、最大のものの面積と求めます。

すると、明らかに赤と緑の部分は小さいので、青、黄の面積を

求めます。

　はじめにＤの位置ですが、図３の三角形ＢＣＦと三角形ＤＰＥが

相似になりますので、ＰＥ＝ＤＥ＝４ｃｍです。

　まず、黄色の部分の面積は、ＡＤ＝１４ｃｍ、ＢＣ＝１２ｃｍの

台形で、（１４＋１２）×６÷２＝７８ｃ㎡ となります。

　次に青い部分の面積は、

台形ＰＤＢＣの面積＋三角形ＤＰＥの面積＋三角形ＢＣＦの面積

＝（８＋１２）×６÷２＋４×４÷２＋６×６÷２

＝８６ｃ㎡　です。　

　よって、最も面積の大きい部分の厚紙の面積は８６ｃ㎡ です。

　【関連問題】

　 立体図形の切り口　（灘中学　2005年）

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