対角線によって切断される正方形の数 第１問 （大阪星光学院中学 2006年（平成18年度） 算数受験問題）
問題 （大阪星光学院中学 2006年 算数受験問題）
難易度★★★
（１）図１のような、３辺の長さが５ｃｍ、１２ｃｍ、１３ｃｍの直角
三角形の中に、１辺の長さが１ｃｍの正方形をすき間なく
並べていくとき、最大で何個の正方形を並べることが
できますか。
（２）３辺の長さが１５ｃｍ、３６ｃｍ、３９ｃｍの直角三角形の中に
同様に１辺の長さが１ｃｍの正方形をすき間なく並べて
いくとき、最大で何個の正方形を並べることができますか。
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解答
（１）直角三角形の直角の部分に正方形を合わせて、並べていく
方法が、最も正方形をしきつめられます。すなわち、下の図２の
たて１２ｃｍ、よこ５ｃｍの長方形の中にある、直角三角形ＡＢＣの
中に、１辺１ｃｍの正方形が何個あるか、という問題になります。
この正方形の数は、次の式から求められます。
（全正方形の数－ＡＢによって切断される正方形の数）÷２
長方形の中の正方形の数は、５×１２＝６０個です。
では、ＡＢによって切断される正方形の数は、何個でしょうか。
ＢＣ：ＡＣ＝５：１２なので、直角三角形の頂点Ｂから見ると、
直線ＡＢは、よこに１ｃｍ進むと、たてに１２/５ｃｍ（２．４ｃｍ）
あがるので、正方形は３個切られます。
よこに２ｃｍ進むと、たてに２４/５ｃｍ（４．８ｃｍ）進むので、
下から３個目～５個目が、さらに切られます。
さらに、３６/５ｃｍ（７．２ｃｍ）、４８/５ｃｍ（９．６ｃｍ）と続き、
ＢからＡへ正方形を見ていくと、切断される正方形は、
下の図３のようになります。
よって、切断される正方形の数は、３＋３＋４＋３＋３＝１６個
なので、求める青い部分の個数は、（６０－１６）÷２＝２２個
となります。
さて、この「対角線によって切断される正方形の数」には
簡単に数えられる方法があります。
たてＡｃｍ、よこＢｃｍの長方形の対角線によって切断される
内部の１辺１ｃｍの正方形の個数は、
Ａ＋Ｂ－(ＡとＢの最大公約数) に等しくなります。
下の図４は、切断される正方形を色分けしたものです。
黄色い正方形は、長方形のたての長さと等しく１２個あります。
オレンジの正方形は、長方形の横の長さより１つ少ない４個です。
対角線が、ある列から、となりの列へ進入していくとき、正方形の
辺と交わります。すると、その辺を共有する２つの正方形を切断
することになります（となり合う黄色とオレンジの正方形が切断）
たてに進むと黄色い正方形が切断されますが、列を移動して
進むと、オレンジの正方形（となりの正方形）が発生します。
いずれ、対角線は正方形の頂点と交わるわけですが、この際は
辺ではないので、オレンジの正方形が発生しません。
正方形の頂点と対角線が交わると、
オレンジの正方形は発生しない
今回は、たて１２ｃｍ、よこ５ｃｍで、正方形の頂点は長方形の頂点と
一致し、Ｂからスタートした対角線は、正方形の頂点と１回、頂点Ａで
交わるだけなので、オレンジの正方形は１個減り、対角線によって
切断される正方形の個数は、１２＋５－１＝１６個 と求められます。
では、この「１個」の意味は、というと、それは「１２」と「５」の
最大公約数です。
たとえば、たて２４ｃｍ、よこ１０ｃｍの長方形にすると、
２４＋（１０－２）＝３２個 の正方形が切断されます。
「２」を引いているのは、（５ｃｍ、１２ｃｍ）×２＝（１０ｃｍ、２４ｃｍ）
なので、５ｃｍ、１２ｃｍごとに正方形の頂点に対角線が交わり、
その回数が２回（＝１０と２４の最大公約数）ということです。
ですから、 たてＡｃｍ、よこＢｃｍの長方形の対角線によって
切断される内部の１辺１ｃｍの正方形の個数は、
Ａ＋Ｂ－(ＡとＢの最大公約数) で求めることができます。
（２） （１）の直角三角形の３倍の大きさの直角三角形です。
下の図６のようになります。
青い部分に正方形は２２個×３＝６６個、
また、緑の部分に正方形は５×１２×３＝１８０個 並べられるので、
６６＋１８０＝２４６個 の正方形を並べることができます。
なお、黄色い部分には正方形が１５＋３６－３＝４８個 あります。
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