« 平面図形の面積 第57問 (麻布中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題) | トップページ | 速さ 第9問 時計算 (栄光学園中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題) »

2009年10月22日 (木)

場合の数 並べ方 第9問 (渋谷教育学園幕張中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2004年 算数入試問題) 

     難易度★★★★

 

1~8の数字が1つずつ書かれたカードが8枚あります。

このカードから3枚取り出し、左から1枚ずつ並べて、3けたの

整数を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)できる整数のうち、百の位の数字と一の位の数字を掛けた数と

    十の位の数字が等しいものは何通りありますか。

 

 (2)できる整数のうち、百の位の数字と一の位の数字の差が

    十の位の数字と等しいものは何通りありますか。

 

 (3)(2)のような整数の中から2つを選んで足すと、888になる

    ような整数の組をすべて答えなさい。

-----------------------------------------------

-----------------------------------------------

解答

 (1)百の位または一の位に「1」があると、掛け算をした結果は

もう一方の位の数と等しくなるので、「1」は含まれません。

(たとえば、「1○8」では、○には8は入らない)

よって、考えるのは2~8の数字についてです。

 

小さい方の数字から考えると、

2×3=6、2×4=8、2×5=10・・・×

3×4=12・・・× 以降は不適。

よって、百の位、一の位に入る数字の組は、

(2,3)、(3,2)、(2,4)、(4,2)の4通りとなります。

 

 (2)百の位の数字と一の位の数字の差が

十の位の数字と等しくなる組み合わせを調べていきます。

 

差が1の場合・・・

 (2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、(7,6)、(8,7) 

 以上6×2通り

 

差が2の場合・・・ 

 (3,1)、(4,2)、(5,3)、(6,4)、(7,5)、(8,6)

 以上5×2通り

  

差が3の場合・・・

 (4,1)、(5,2)、(6,3)、(7,4)、(8,5)・・・以上4×2通り

  

差が4の場合・・・

 (5,1)、(6,2)、(7,3)、(8,4)・・・以上3×2通り

  

差が5の場合

 (6,1)、(7,2)、(8,3)・・・以上3×2通り

  

差が6の場合

 (7,1)、(8,2)・・・以上2×2通り

  

差が7の場合

 (8,1)・・・以上1×2通り

 

   

合計すると、12+10+8+6+6+4+2=48通り となります。

 

 (3) 2つの3けたの整数を足して「888」となるので、

足し算を図に表すと、下図のようになります。

     Pic_0590a

まず、一の位に注目します。CとFに入る数字は1~8まで

考えられますが、一番大きい8+8を計算しても「16」ですから、

C+F=18 のように、くりあがることはありません。

これは百の位、十の位でも当てはまります。

 

 すなわち、C+F=8 となります。(A+D、B+E も「8」です。)

よって、C,F の組み合わせは、

(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4)が考えられますので、

それぞれの場合について考えていきます。 

     Pic_0591a

 まず、(C,F)=(1,7)のとき、

 

(B,E)=(7,1) → (A,D) = (8,6) ・・・×

(B,E)=(6,2) → (A,D) = (7,5) ・・・×

(B,E)=(5,3) → (A,D) = (6,4)・・・×

(B,E)=(4,4) → (A,D) = (5,3)・・・○

(B,E)=(3,5) → (A,D) = (4,2)・・・×

(B,E)=(2,6) → (A,D) = (3,1)・・・×

(B,E)=(1,7) → (C,F) と同じなので ×

  

(B,E)の組み合わせを変えるごとに(A,D)の和は2ずつ減ります。

   

 次に、(C,F)=(2,6)のとき、

  

(B,E)=(7,1) → (A,D) = (9,7)、(9,5)・・・×

(B,E)=(6,2) → (A,D) = (8,8)、(8,4)・・・×

(B,E)=(5,3) → (A,D) = (7,3) ・・・×

(B,E)=(4,4) → (A,D) = (6,2) ・・・○

(B,E)=(3,5) → (A,D) = (5,1) ・・・×

(B,E)=(2,6) → (C,F)と同じなので ×

(B,E)=(1,7) → (A,D) = (3、13)・・・×

 

 ここも(A,D)の和が2ずつ減るので、経過を追いやすいと

思います。

 

 次に、(C,F)=(3,5)のとき、

 

(B,E)=(7,1) → A=10なので ×

(B,E)=(6,2) → A=9なので ×

(B,E)=(5,3) → A=8なので ×

(B,E)=(4,4) → (A,D)=(7,1) ・・・○

(B,E)=(3,5) → (C,F)と同じなので ×

(B,E)=(2,6) → D=11なので ×

(B,E)=(1,7) → D=12なので ×

 

 次に、(C,F)=(4,4)のとき、

(B,E)がどんな組み合わせでも、B+C またはE+F が

8以上になるので、条件に合う組み合わせはありません。

 

よって、答えは、

  (541,347) 、 (642,246) 、 (743,145) 

の3組です。

 

根気強く調べることが大事です。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

|

« 平面図形の面積 第57問 (麻布中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題) | トップページ | 速さ 第9問 時計算 (栄光学園中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題) »

コメント

(3)についてはA+D=C+FであるならAとCの差DとFの差は同じである事に気づくと、B=E=4になることが分かるので組を探すのがかなり楽になります。

投稿: 万打無 | 2010年11月21日 (日) 16時48分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
ご指摘のように、B=E=4に先にたどり
つくことができれば、楽になりますね。
 
試験問題として考えると、地道に考えた受験生が
少なからずいたと思います。解法の工夫に気づければ、
それに越したことはないですね。

また気づいたことがございましたら、
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2010年11月22日 (月) 17時45分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 場合の数 並べ方 第9問 (渋谷教育学園幕張中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題):

« 平面図形の面積 第57問 (麻布中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題) | トップページ | 速さ 第9問 時計算 (栄光学園中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題) »