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2009年10月30日 (金)

図形の移動 第8問 (灘中学 2004年(平成16年度) 受験算数問題)

 

問題 (灘中学 2004年 受験算数問題) 難易度★★★

       Pic_0630q 

図1は円周上に3頂点がある正三角形の図です。この正三角形と

同じ大きさの2枚の正三角形A,Bを用意し、図の正三角形の上に

ぴったりと重ね、円の中心を中心として次のように回転させます。

 

正三角形Aは、時計の針と同じ向きに1秒間に7°の速さで

回転し、正三角形Bは、時計の針と反対の向きに1秒間に4°

の速さで回転します。最初は3つの正三角形はぴったりと重なって

いて、正三角形A,Bが同時に回転を始めます。

このとき次の問に答えなさい。

 

 (1)正三角形A,Bが重なる部分が初めて正六角形になるのは

    回転を始めてから何秒後ですか。

 (2)回転を始めてから、3つの正三角形が初めてぴったり重なる

    のは、回転を始めてから何秒後ですか。

 (3)3つの正三角形が3枚とも重なる部分が、3回目に正九角形

    になるのは、回転を始めてから何秒後ですか。

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解答

 (1)重なる部分が正六角形になるのは、下の図2のようになる

ときで、正三角形A,Bが重なりあっていたときから、60°ずれた

ときです。

      Pic_0631a

よって、60÷(7+4)=5と5/11 秒後になります。

 

 (2)正三角形A,Bは、ともに120°回転すると、図1の

正三角形と重なります。それぞれ7°、4°ずつ回転しているので

図1の正三角形と重なるまでに、120/7 秒、 120/4 秒

かかります。

 

よって、120/7 と120/4(=30) の最小公倍数を求めればよく、

     Pic_0632a

図3のすだれ算から、120秒後 となります。

 

 (3)3つの正三角形が3枚とも重なる部分が正九角形に

なるとき、下の図4のようになります。

      Pic_0633a

360÷9=40なので、 正三角形の頂点と円の中心を結ぶと

となり合う頂点のずれは 40°になります。

 

40°回転するのに、正三角形A,Bはそれぞれ

40/7、40/4 秒かかります。

(2)と同様に最小公倍数を求めると、40秒となります。

 

40秒後、Aは40×7=280°、Bは40×4=160°

それぞれ回転するので、Aは図4の青い正三角形、Bは図4の

オレンジの正三角形の位置となっています。

 

2回目に正九角形ができるのは、40×2=80秒後で、

正三角形Aは80×7=560°=360°(1周)+200°

正三角形Bは80×4=320°

それぞれ回転するので、Aは図4のオレンジの正三角形、

Bは図4の青い正三角形の位置にあります。

 

次に40×3=120秒後は、

(2)より3つの正三角形が重なっていて正九角形はできません。

 

次に40×4=160秒後は、

正三角形Aは160×7=1120°=1080°(3周)+40°

正三角形Bは160×4=640°=360°(1周)+280°

それぞれ回転していて、Aは図4の青い正三角形、

Bは図4のオレンジの正三角形の位置にあります。

 

よって、3回目に3つの正三角形が重なる部分が

正九角形になるのは、160秒後となります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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