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2009年10月19日 (月)

図形の回転 第8問 (聖光学院中学 2004年(平成16年度) 算数受験問題)

 

問題 (聖光学院中学 2004年 算数受験問題) 難易度★★★

 

図のように直方体の面の中心を線で結んで、八面体ABCDEFを

作りました。このとき次の問に答えなさい。円周率は3.14とし、

答えは小数第1位を四捨五入しなさい。

     Pic_0567  

(1)八面体ABCDEFの体積を答えなさい。

(2)八面体ABCDEFを、対角線BDを軸として回転させた立体の

   体積を答えなさい。

(3)八面体から四角形ABFDを取り出すと、ADの長さは5cmです。

   辺ADを軸として四角形ABFDを回転させたとき、できる立体の

   体積を答えなさい。

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解答

 (1)八面体ABCDEFは、四角形BCDEを底面とする、

高さ3cmの四角すい2つから成る立体です。四角形BCDEは、

図1のように1辺8cmの正方形の半分の面積なので、

      Pic_0568

八面体ABCDEFの体積は、

   8×8÷2×6÷3=64c㎥ 

となります。

 

 (2)BDを軸とすると、四角形ACFEが回転します。

図2のように、AF=6cm、CE=8cm なので、CEを直径とした

円の方が大きくなり、BDを軸として立体ABCDEFを回転させると、

この円を底面とする、高さ4cmの円すいが2つできます。

     Pic_0569

よって、この立体の体積は、

  (4×4×3.14×4÷3)×2=133.9・・・≒134c㎥ 

となります。

 

 (3) 四角形ABFDは、ひし形で、すなわち、ADとBFは平行です。

よって、四角形ABFDをADを軸として回転させると、軸:ADから

BFまでの長さを幅とした円柱のようなものができることになります。

  

図3のように、ひし形ABFDの面積は、たて6cm、よこ8cmの

長方形の面積の半分に等しく、24c㎡です。

また、FからADに下ろした垂線の足をPとすると、

AD×FP=ひし形ABFDの面積 なので、

FP=24/5(cm) とわかります。

     Pic_0570

ADを軸として、ひし形ABFDを回転させると、三角形FPDを

回転させたものと、四角形ABFPと回転させたものに分けられます。

 

BからADへ下ろした垂線の足をQとすると、図4のように、

     Pic_0572

三角形ABQと三角形DFPは合同なので、

三角形ABQをADを軸として回転させた立体(円すい)と、

三角形DFPをADを軸として回転させた立体(円すい)は、

まったく同じものとなります。

 

よって、ひし形ABFDをADを軸として回転させた立体の体積は、

長方形PQBFをADを軸として回転させた立体(円柱)の体積と

等しくなり、PQ=PA+AQ=PA+DP=5cm より、体積は

  24/5 × 24/5 ×3.14×5 = 361.7・・・

                       ≒ 362  (c㎥) 

となります。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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