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2009年10月16日 (金)

場合の数 図形の選び方 第2問 (甲陽学院中学 2003年(平成15年度) 算数受験問題)

 

問題 (甲陽学院中学 2003年 算数受験問題)

     難易度★★★★★

 

空間内に図のように27個の点を考えます(この点は1辺が

1cmの立方体をすきまがないように組み合わせて1辺が2cmの

立方体を作ったときの、各立方体の頂点にあります。)

このとき次の問に答えなさい。

Pic_0559

   

(1)27個の点から、3つの点を選び、それを頂点とする三角形を

   作るとき、正三角形は何個できますか。

 

(2)27個の点から、4つの点を選び、それを頂点とする四角形を

   作るとき、正方形は何個できますか。

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解答

 (1)立方体を図1のように3つの頂点を通る平面で切断すると、

切り口は正三角形になるので、これと平行に、27個の点を通る

面を考えると、まず図2のような切り口があります。

Pic_0560

次に、図2から切り口を奥へ移動させると図3のような切り口が

考えられます。

Pic_0561

このとき、小さい正三角形4個、大きい正三角形1個の合計5個の

正三角形を作ることができます。

 

さらに切り口を奥へ移動させると、図4のような切り口になります。

Pic_0562_2

この切り口は正六角形になり、7個の点を通りますので、

小さい正三角形6個と、大きい正三角形2個の合計8個の

正三角形を作ることができます。

 

さらに切り口を奥へ移動させると、図5,6のようになり、

Pic_0563

これはそれぞれ図3,2と同じ形の切り口で、作れる正三角形は、

それぞれ5個、1個です。

 

よって、この方向からの切り口でできる正三角形は、

1+5+8+5+1=20個となります。

 

切り口を考える方向は、図7のように4方向あるので、

Pic_0564

20×4=80個の正三角形ができます。

 

 (2)正方形は、立方体の面と平行に立方体を切断していくと

現れます。すると、ひとつの面に9個の点があるので、

できる正方形は、図8,9のように

    Pic_0565

1つの面につき、6個の正方形ができます。

 

3つの面で27個の点すべてを通ることになるので、

1方向につき6×3=18個の正方形ができ、

①前後 ②左右 ③上下 の3方向から立方体を見れることから、

合計で 3×18=54個の正方形ができます。

    

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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