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2009年10月26日 (月)

立体図形の切り口 第15問 (灘中学 2000年(平成12年度) 算数受験問題 改題)

 

問題 (灘中学 2000年 算数受験問題 改題) 難易度★★★★★

   Pic_0085

(1)高さが10cmの四角すいA-BCDEがあり、辺の長さはすべて

   等しいです。この四角すいA-BCDEの体積を求めなさい。

  

(2)点Mは辺ABの真ん中の点、点Nは辺ACの真ん中の点と

   します。この四角すいを4点M,N,D,Eを通る平面で

   切ったとき、この平面より下の立体の体積を求めなさい。

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解答

 (1)四角すいの高さが10cmということは、BDとCEの交点を点F

とすると、AFの長さが10cm ということです。

Pic_0086

すると、この四角すいは、図1のような1辺20cmの立方体に

内接する正八面体の半分のものに等しくなり、その体積は

20×20÷2×10÷3=2000/3 c㎥ =666と2/3 c㎥

となります。

 

 (2)M,N,D,Eを通る平面で、この四角すいを切断すると

できる立体は、図2のような【切断三角柱】になります。

 

 【切断三角柱の体積の求め方】は → こちら

切断三角柱の高さは、3辺BC、DE,MN の平均です。

 Pic_0087_3

MNの真ん中の点をL,BCの真ん中の点をP,

DEの真ん中の点をQとすると、【切断三角柱】の底面

三角形LPQとなります。三角形AMLと三角形ABPの相似比が

1:2なので、AL:AP=1:2となり、AL=LPです。

つまり、三角形LPQの面積は、三角形APQの面積の半分です。

   

四角すいの底面の正方形の1辺(BC)の長さを□とすると、

三角形APQの面積は、PQ=□、高さ=10cmなので、

□×10cm÷2 です。

よって、三角形LPQの面積は、□×10÷4 となります。

 

【切断三角柱】の高さ「BC、DE,MN の平均」については

三角形AMNと三角形ABCの相似比が1:2なので、

MNはBCの半分で、

(□+□+□÷2)÷3=2.5×□÷3  です。

 

よって、【切断三角柱】の体積は

(□×10÷4)×(2.5×□÷3)=□×□×25÷12 です。

ここで、四角すいの底面の正方形の面積について、

□×□=20×20÷2=200 c㎡ という式が成り立ちます。

四角すいは1辺20cmの立方体に内接しているため

 

つまり、【切断三角柱】の体積は

(20×20÷2)×25÷12 となり、これを計算すると

1250÷3=416と2/3 c㎥ となります。

   

 <別解>

平面MNDEで切って分けた2つの立体は、

三角形ALQと三角形PQLの面積が等しいので、

2つとも底面積の等しい【切断三角柱】ということになり、

2つの【切断三角柱】の体積比は、その高さで決まることになります。

   

MNの長さを1とすると、体積比は、

上の立体(A-MNDE):下の立体=(0+1+2):(1+2+2)=3:5

となり、 

  

(1)より、四角すいA-BCDEの体積=2000/3 c㎥ なので、

求める立体の体積=2000/3 ×5/8 =1250/3

416と2/3 c㎥ となります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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