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2009年9月 1日 (火)

数の性質 第19問 (栄東中学 2009年(平成21年度) 算数受験問題)

問題 (栄東中学 2009年 算数受験問題) 難易度★★★★★

 

最大公約数が1である二つの整数は、二つの整数を足した数と

二つの整数を掛けた数の最大公約数も1であるという性質が

あります。必要ならばこのことを利用して次の問に答えなさい。

 (1)ある二つの整数は、和が825、最小公倍数が2100です。

    この二つの整数は何か求めなさい。  

 (2)(1)の二つの整数の差を求め、その約数をすべて

    足したところある整数Xの約数をすべて足した数と

    等しくなりました。ある整数Xとは何か求めなさい。

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解答

 (1)最大公約数が1である二つの整数は、二つの整数を足した

数と二つの整数を掛けた数の最大公約数も1であるという性質が

あります。  

 

 これはどういうことか確かめると、たとえば5と9なら、

足すと14、掛けると45で、14と45の最大公約数は1です。

と言っていることになります。これを踏まえて考えます。

 

 二つの整数をA,Bとし、その最大公約数を□として

          Pic_0370

すだれ算をすれば、A → a 、B → b になると表すと、

最小公倍数:2100=□×a ×b と表せます。

また、□×a =A 、□×b =B なので、

 825=A+B=( □×a )+( □×b )=□×(a+b )

と表せます。

 

2100=3×7×10×10=2×2×3×5×5×7

825=5×165=5×5×33=3×5×5×11

 

3×5×5が共通しているので、最大公約数□=3×5×5です。

★仮に5×5が最大公約数とすると、

a+b=3×11、a×b=2×2×3×7 ということになり、

a+b と a×b の最大公約数は3ということになります。

しかし、a 、b については最大公約数が1なので、

最大公約数が1である二つの整数は、二つの整数を足した

数と二つの整数を掛けた数の最大公約数も1である、という

性質があると、問題文に書いてあるので、これにより、

□=3×5×5でなければなりませんね。

よって、a+b=11、a×b=2×2×7=28 です。

足して11、掛けて28の整数は、4と7です。

□=3×5×5  なので、二つの整数A,Bは、

  A=4×3×5×5=300、B=7×3×5×5=525 

となります。

 

 (2)(1)の二つの整数の差は、525-300=225 です。

まず、225の約数を求めましょう。

225=9×25=3×3×5×5 です。

約数の数は、3を0~2個の3通り、5を0~2個の3通りの

組み合わせなので、3×3=9個です。

1、3、5、3×3、3×5、5×5、3×3×5、3×5×5、

3×3×5×5 の9個です。

これらをすべて足すと、

 1+3+5+9+15+25+45+75+225=403

 

ここで工夫しなければ、この問題は解けません。

1+3++3×3+3×5×5+3×3×+3×5×5

3×3×5×5

=1+3+3×3+5×(1+3+3×3)+5×5×(1+3+3×3)

=(1+3+3×3)×(1+5+5×5)=13×31=403

 

13、31ともに素数なので、他に表現できる式はありません。

13は、1+3+3×3でしか表現できません。1+12はできますが

12は素数ではないので不適切です。

仮に12だとすると、2×2×3で、

403=(1+2+2×2)×(1+3+3×3)×(1+5+・・・

となり、A×B×C、つまり403が3つの数を掛けたもので

表せることになりますが、403=13×31と、2つの数を掛けた

ものですので、12のような数は不適切ということになります。

31は、1+2+2×2+2×2×2+2×2×2×2=31です。

よって、

 403=

(1+3+3×3)×(1+2+2×2+2×2×2+2×2×2×2)

で、これはどんな数の約数の和を表しているかというと、

 3×3×2×2×2×2=144

です。

 

参考:

ある整数Xが

(A×A×・・)×(B×B×・・)×(C×C×・・)×(D×D×・・)で

表されるとき、約数の和は、

(1+A+A×A+・・)×(1+B+B×B+・・)×(1+C+・・・

と表されます。

 

(2)は難しすぎますね。

 

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