平面図形の面積 第５４問 （市川中学 2009年（平成21年度） 入試算数問題）

問題　（市川中学　2009年　入試算数問題）　難易度★★★

図のように正方形ＡＢＣＤがあり、辺ＡＢを半径とする扇形と

ＢＣを直径とする半円を正方形の中に描いた。扇形と半円の

交点を点Ｐ、ＢＣのまん中の点をＭとしたとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　　　

　（１）角ＡＰＭの大きさを求めなさい。　

　（２）ＢＰ＝４ｃｍのとき、正方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

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解答

　（１）ＡＢ＝ＡＰ、ＢＭ＝ＭＰより、三角形ＡＢＭと三角形ＡＰＭは

３辺の長さが等しいので、合同な三角形だとわかります。

　　　　　　　　　　

よって、角ＡＰＭ＝角ＡＢＭ＝９０度　となります。

　（２）三角形ＡＢＰ、三角形ＢＭＰは二等辺三角形で、ＡＭとＢＰの

交点を点Ｑとすると、ＡＱ，ＭＱはＡ，ＭからＢＰへの垂直二等分線

なので、角ＡＱＢ＝角ＢＱＭ＝角ＭＱＰ＝角ＰＱＡ＝９０度 となり、

　　　　　　　　　　

　角ＢＡＱ＝角ＭＢＱ＝角ＭＰＱ＝角ＰＡＱ

　角ＡＢＱ＝角ＡＰＱ＝角ＢＭＱ＝角ＰＭＱ　

となり、

三角形ＡＢＱ，三角形ＢＭＱ，三角形ＡＢＭはそれぞれ相似で、

　ＡＢ：ＢＭ＝ＢＱ：ＱＭ＝ＡＱ：ＱＢ＝２：１、ＢＱ＝２ｃｍ

より、

　ＡＱ＝４ｃｍ、ＱＭ＝１ｃｍ　で、角ＢＱＭ＝９０度なので

三角形ＡＢＭの面積＝（４ｃｍ＋１ｃｍ）×２ｃｍ÷２＝５ｃ㎡

正方形ＡＢＣＤの面積＝三角形ＡＢＭの面積×４＝２０ｃ㎡

です。

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