立体図形の切り口 八面体 第９問 （豊島岡女子学園中学 2009年、栄光学園中学 2000年 受験算数問題 類題）

問題　（豊島岡女子学園中学　2009年、

　　　　 栄光学園中学　2000年　受験算数問題）　難易度★★★★

　すべての辺の長さが２０ｃｍの三角すいＡ-ＢＣＤがあります。

この三角すいの辺のまん中の点を図のようにＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ

とし、点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊを１０ｃｍの長さで結べる点どうしを

結んでできた立体をＴとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）立体Ｔの辺の本数を答えなさい。

（２）立体Ｔの各辺のまん中の点をとり、５ｃｍの長さで結べる

　　 点どうしを結び、立体Ｓを作るとき、立体Ｓの辺の本数を

　　 答えなさい。　（以上、栄光学園中学　2000年）

（３）三角すいＡ-ＢＣＤの表面積は、立体Ｔの表面積の何倍か

　　 答えなさい。

（４）ＢＥ，ＣＦ，ＤＧのそれぞれのまん中の点を通る平面で立体Ｔを

　　 切断したとき、立体Ｔの切り口の面積は三角形ＡＢＣの面積の

　　 何倍か答えなさい。　　（以上、豊島岡女子学園中学　2009年）

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解答

　（１）三角形ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＢＤ，ＢＣＤは正三角形なので、

立体Ｔは１辺の長さ１０ｃｍの、図１のような正八面体なります。

正八面体の辺の数は、１２本です。

　（２）正八面体 Ｔ の各辺のまん中の点を結ぶと、図２のように

正八面体の１つの面（正三角形）の内部に正三角形ができ、

１つの面に３本の辺ができるので、立体Ｓの辺の本数は、

３本×８面＝２４本　となります。

　（３）三角形ＥＦＨの面積を①とすると、正八面体Ｔの表面積は

８面あるので、①×８＝⑧　です。

正方形ＡＢＣの面積は、図３のように、三角形ＥＦＨの面積の

４倍で、①×４＝④で、４面あるので、④×４＝⑯ です。

よって、三角すいＡ-ＢＣＤの表面積は、立体Ｔの表面積の

２倍です。

　（４）ＢＥ，ＣＦ，ＤＧのまん中の点を、それぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒ

とすると、三角形ＰＱＲは正三角形です。

また、図４のように、ＰＱとＥＨ，ＦＨの交点をＳ，Ｔとすると、

三角形ＥＰＳ，ＳＨＴ，ＦＱＴはすべて合同な正三角形なので、

ＰＳ＝ＳＴ＝ＴＱとなります。

三角形ＡＢＣ以外の三角形ＡＣＤ，ＡＢＤについても同じ図に

なるので、三角形ＰＱＲは図５のようになります。

すると、立体Ｔの切り口（色のついた部分）は正六角形になり、

三角形ＰＱＲの面積の２/３ であることがわかります。

図４より、ＢＣ：ＰＱ＝４：３で、

三角形ＡＢＣの面積：三角形ＰＱＲの面積＝４×４：３×３＝１６：９

より、三角形ＰＱＲの面積は三角形ＡＢＣの面積の９/１６　なので、

立体Ｔの切り口の面積は、三角形ＡＢＣの面積の

　　　９/１６ × ２/３ ＝ ３/８　（倍）　

ということになります。

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