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2009年9月15日 (火)

規則性の問題 数の並び 第9問 (甲陽学院中学 2009年 算数入試問題)

問題 (甲陽学院中学 2009年 算数入試問題) 

     難易度★★★★

 

次のような数の列を考えます。

 1, 1, 3, 1, 4, 7, 1, 5, 9, 13, 1, 6, 11, 16, 21, 1, ・・・

すなわち、一番左の数は1で、その後は

 2で割ると1余る数を小さい順に2つ

 3で割ると1余る数を小さい順に3つ

 4で割ると1余る数を小さい順に4つ

 5で割ると1余る数を小さい順に5つ 

 ・・・・

という規則で数を並べていきます。このとき次の問に答えなさい。

 

 (1)5個目の「1」は11番目ですが、

    12個目の「1」は何番目ですか。

 (2)200番目の数は何ですか。

 (3)最初の「2009」は何番目ですか。

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----------------------------------------------

解答

 (1)横に並んでいる数字を、ピラミッド状に並べてみましょう。

1、3

1,4,7

1,5,9,13

1,6,11,16,21

1,7,13,19,25,31

・・・・

このように、1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個、・・・という

ように数が並びます。

よって、12個目の「1」は12段目の最初ですから、

 1+2+3+・・・+11+1=(1+11)×11÷2+1=67番目

です。

 

 (2)11段目までで66個の数が出ますので、

200番目まで、あと134個です。

20段目までだと、20×21÷2=210なので、200番目の数は

20段目にあることがわかります。19段目までが210-20=190

なので、20段目の「1」は191番目です。

200番目は、20段目の10個目で、

20段目は20で割ると1余る数を小さい順に20個並べていて、

1,21,41、・・ なので、1+20×(10-1)=181 が200番目です。

 

 (3)2009が、何かで割って1余る数のとき、

2009-1=2008は、何かで割り切れる数ということです。

2008=8×251 で、251は約数がない(素数である)ので、

「2009」は251段目に、1,252,503、・・・2009・・・ として

初めて登場することがわかります。

 

251段目の9番目で、250段目までには

1+2+3+・・・+250=250×251÷2=31375個の数が

並んでいるので、「2009」は、31375+9=31384番目

に初めて登場します。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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