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2009年9月 1日 (火)

規則性の問題 図形 第3問 (鎌倉女学院中学 2009年(平成21年度) 算数入試問題)

問題 (鎌倉女学院中学 2009年 算数入試問題) 難易度★★★★

 

10cmの竹ひごと、粘土を使って正三角形を作ります。  

Pic_0355

たとえば、1辺20cmの正三角形を作るには、粘土6個、

竹ひご9本が必要です。このとき次の問に答えなさい。

 

(1)50cmの正三角形を作るとき、粘土は何個必要か答えなさい。

(2)55個の粘土を使って正三角形を作るとき、竹ひごは何本

   必要か答えなさい。

(3)正三角形を4つ用いて三角すいを作ります。

Pic_0356

 たとえば、1辺20cmの三角すいを作ると、粘土10個、

 竹ひご24本が必要です。では、1辺50cmの三角すいを

 作るとき、粘土と竹ひごは、それぞれ何個必要か答えなさい。

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解答

 (1)正三角形の底辺の粘土の数に注目すると、 

10cmの正三角形では2個、20cmの正三角形では3個、

30cmの正三角形では4個、というように、1個ずつ増えて

いくので、50cmの正三角形を作るには、粘土は 

 1+2+3+4+5+6=21個

必要です。

 

 (2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55なので、

正三角形の1辺は90cmだとわかります。

Pic_0357

たとえば1辺30cmの正三角形を作るときに必要な竹ひごは、

三角形の3辺を平行なもの同士を同じ色で描いてみると、

赤:1+2+3=6 、 黄:1+2+3=6、 青:1+2+3=6本

よって、6×3=18本です。

 

同様にして、1辺が90cmのときは、

 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×3=45×3=135本

の竹ひごが必要です。

 

 (3)1辺50cmの三角すいを作るときに必要な粘土ですが、

     Kisoku016

1段ずつ正三角形が大きくなっていくと考えると、

1段目は粘土が1個(頂点)、2段目は1辺10cmの正三角形、

3段目は1辺20cmの正三角形、4段目は1辺30cmの正三角形

5段目は1辺40cmの正三角形、6段目は1辺50cmの正三角形

が重なっていることと等しいので、それぞれの粘土の数を足して、

  1+3+6+10+15+21=56個です。

しかし、4段目に1個、5段目に3個、いらない粘土がありますので

   Miss

  56-4=52個

です。

 

(別解)

21個の粘土が4面あるので、21×4=84個

ここから、斜辺で重なっているものが4×6=24個あり、

84-24=60個、さらに頂点は3回重なっているので、

2回分を引いて、

  60-4×2=52個

となります。

 

 竹ひごの本数は、各面の正三角形の竹ひごの本数の和から、

三角すいの辺として使われる竹ひごは2回数えたことになるので

三角すいの辺に使われている竹ひごの本数を引けば求められ、

1辺50cmの正三角形に使われている竹ひごの本数は

  (1+2+3+4+5)×3=45本

なので、1辺50cmの三角すいに使われている竹ひごの本数は

  45×4-5×6=150本 

です。

 

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