立体図形の体積 第５問 （洛星中学 2009年 算数入試問題）

問題　（洛星中学　2009年　算数入試問題）　難易度★★★★

ふたのない円柱の形をした容器が３個あります。これらの容器の

側面積はすべて等しく、底面が一番大きな容器の高さは１２ｃｍ

です。底面が一番大きな容器の内側に、他の２個の容器を入れて、

真上から見たところ、図のようになりました。

　　　　　　

こうしてできた容器のすべての部分に水を満たしました。

ただし、内側の容器の底は外側の容器の底にぴったりくっついて

いて、すきまに水は入らないものとします。また、容器の厚さは

考えないものとし、円周率は３．１４とします。

（１）この容器に入っている水の体積を求めなさい。

（２）この容器の水にふれている（水にぬれている）部分の面積を

　　 求めなさい。ただし、容器の内側と外側は区別するものと

　　 します。

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解答

　（１）まず、それぞれの容器の高さを求めます。大、中、小の

容器の側面積は、中、小の容器の高さを□ｃｍ、○ｃｍとすると、

　大：６×２×３．１４×１２ｃｍ

　中：４×２×３．１４×□ｃｍ

　小：２×２×３．１４×○ｃｍ

これらがすべて等しいことから、

６×１２＝４×□＝２×○　より　□＝１８ｃｍ、○＝３６ｃｍ

と高さをそれぞれ求められるので、入っている水の体積は、　　　

　６×６×３．１４×１２＋４×４×３．１４×１８

　　　　　　　　　　　　　 ＋２×２×３．１４×３６

として計算すると、誤りです。

なぜなら、中、小の容器の下側１２ｃｍの部分は、

大の容器の中に入っているからです。

　　

中、小の容器が大の容器から出ている部分の高さは、

それぞれ１８－１２＝６ｃｍ、３６－１２＝２４ｃｍ　ですので、

容器に入っている水の体積は、

６×６×３．１４×１２＋４×４×３．１４×６＋２×２×３．１４×２４

＝３．１４×１２×（３６＋８＋８）

＝３．１４×１２×５２

＝1959.36ｃ㎥

となります。

　（２）水にふれている部分の面積は、まず底面、次に

３つの容器の側面積（３つとも等しい）、さらに、中、小の容器の

大の容器の中に入っている部分（外側）に分けられます。

中、小の容器の、大の容器の中に入っている部分は、

それぞれ１２ｃｍなので、中の容器の側面積の２/３、

小の容器の側面積の１/３で、中、小の容器の側面積は

等しいので、これらは２/３＋１/３＝１となり、側面積１つ分に

相当します。

よって、水にふれている部分の面積は、

　 ６×６×３．１４＋６×２×３．１４×１２×（３＋１）

＝６×６×３．１４×（１＋１６）＝３６×１７×３．１４

＝1921.68ｃ㎡　

となります。

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