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2009年9月11日 (金)

平面図形の面積 第49問 (東海中学 2009年 算数入試問題)

問題 (東海中学 2009年 算数入試問題) 難易度★★★

    Pic_0299

(1)図1のように、正方形ABCD、正方形AEFG、正方形GHIJ

  があり、AG:GD=1:2のとき、正方形AEFG:正方形GHIJ

   の面積比を求めなさい。

 

(2)図2のように、1辺9cmの正方形ABCDがあり、CDの

   真ん中の点を点Pとし、AP上に点Q,AB上に点Rをとり、

   直角二等辺三角形PQRを作った。このとき、三角形PQR

   の面積を求めなさい。

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解答

 (1)三角形AGH、三角形BHI、三角形CIJ、三角形DJGは

みな合同な直角三角形ですので、それぞれの線分の比は

下図のようになります。

   Pic_0300

よって、正方形AEFGの面積は①×①=①

正方形ABCDの面積=③×③=⑨

正方形GHIJの面積=⑨-①×②÷2×4=⑤

ゆえに、三角形AEFGの面積:正方形GHIJの面積=1:5 です。

 

 (2) (1)をふまえて、Qを通り、ADと平行な線を引き、

AB,DCとの交点をE,Fとすると、

     Pic_0301

三角形PQFと三角形PADは相似なので、

FP:FQ=4.5:9=2:1です。

さらに三角形PFQと三角形QERは、PQ=QRで、角度がすべて

等しいので合同になります。

 

よってEQ:QF=1:2なので、EQ=3cm、QF=6cm です。

(1)より、EQを1辺とする正方形の面積の5倍がPQ,QRを

1辺とする正方形の面積と等しいので、求める三角形PQRは

その半分の面積になります。

 

ゆえに、三角形PQRの面積は、

   3×3×5÷2=22.5c㎡ 

です。

 

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コメント

(1)の問題文において「AG:GD=2:1のとき」の部分は「AG:GD=1:2のとき」に直すのが正しいです。

投稿: 万打無 | 2010年12月 6日 (月) 13時02分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘のとおり、問題文に誤りがございましたので
訂正させていただきました。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2010年12月 7日 (火) 16時36分

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