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2009年9月25日 (金)

立体図形の切り口 第11問 (学習院中等科 2008年 算数入試問題、フェリス女学院中学 2005年 算数入試問題)

問題 (学習院中等科 2008年、フェリス女学院中学 2005年

     算数入試問題)  難易度★★★★

 

1辺6cmの立方体ABCD-EFGHをくりぬいて、厚さ1cmの

ますを作りました。このとき次の問に答えなさい。

Pic_0458

(1)この立体の表面積を求めなさい。(学習院中等科 2008年)

(2)辺CGのまん中の点を I ,辺DHのまん中の点を J として、

   E,F,I,Jを通る平面でこの立体を切断したとき、点Hが

   含まれる方の立体の体積を求めなさい。

   (フェリス女学院中学 2005年)

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解答

 (1)このますの表面積は

Pic_0459_3

 6cm×6cm×6面+4cm×5cm×4面=296c㎡ 

です。

 

ますの上面の面積を1cm×6cm+・・・としたり、内側の

底面積を4cm×4cmと計算したくなるかもしれませんが、

真上から見れば6cm×6cmで計算することができますね。

 

 (2)ますを平面EFIJで切断すると、Hを含む立体は、

三角形FGI、三角形EHJを底面とする高さ1cmの三角柱と、

高さ4cmの下図の黄色い部分から成り立ちます。

Pic_0461

この黄色い部分の面積は、三角形FGI の面積から

三角形PQRの面積を除けば求められます。

 

三角形FGI と三角形FSPが相似で、相似比が6:5なので、

PSの長さ=3cm×5/6=2.5cmです。

よって、PQの長さ=2.5-1=1.5cmとなります。

 

次に三角形FGI と三角形FTRが相似で、相似比が3:1なので

 F T=6÷3=2cm

です。

 

よって、QRの長さ=5-2=3cmとなります。

 

ゆえに、黄色い部分の作る体積

 =(6×3÷2-1.5×3÷2)×4=27c㎥ となります。

三角形FGI と三角形EHJを底面とする三角柱の体積

 =3×6÷2×1×2=18c㎥  

です。

 

以上より、求める立体の体積=27+18=45c㎥ となります。 

 

<別解>

三角形FGI を底面とした高さ6cmの三角柱から、

三角形PQRを底面とした高さ4cmの三角柱の体積を

除けばよいので、求める立体の体積は、

 3×6÷2×6-1.5×3÷2×4=45c㎥ 

となります。

 

 

 学習院中等科の過去問題集は → こちら

 フェリス女学院中学の過去問題集は → こちら

 学習院中等科の他の問題は → こちら

 フェリス女学院中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(2)の問題文において「辺DHのまん中の点をHとして、」の部分は「辺DHのまん中の点をJとして、」に直すのが正しいです。

投稿: 万打無 | 2010年12月 3日 (金) 19時12分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘のとおり、誤表記になっておりましたのっで、
訂正させていただきました。

またお気づきの点ございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2010年12月 3日 (金) 20時05分

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