立体図形の表面積 第２問 （麻布中学 2008年（平成20年度） 入試算数問題）

問題　（麻布中学　2008年　入試算数問題）　難易度★★★★

たて３ｃｍ、横４ｃｍ、高さ５ｃｍの直方体があります。

この直方体の面のうち、２辺の長さが

　３ｃｍと４ｃｍの長方形の面を面①

　４ｃｍと５ｃｍの長方形の面を面②

　５ｃｍと３ｃｍの長方形の面を面③　　とします。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）この直方体を面①，面②，面③に平行な面で、それぞれ

　　 １回、１回、２回切って、小さい直方体を作ります。

　　 このとき直方体は何個できますか。また、それらの小さい

　　 直方体の表面積の合計を求めなさい。

（２）この直方体を面①，面②，面③に平行な面で、それぞれ

     Ａ回、Ｂ回、Ｃ回切ったところ、小さな直方体が９０個でき、

　　これらの直方体の表面積の合計は４６２ｃ㎥ でした。

　　Ａ，Ｂ，Ｃにあてはまる数を答えなさい。

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解説

　立体図形の表面積　第１問を、より難しくした問題です。

　（１）同じ方向で１回切ると立体の数は２個に、

２回切ると立体は３個に増えるので、１回、１回、２回と切ると、

１（元の数は１）×２×２×３＝１２個の直方体になります。

　次に、このときの表面積について考えると、平行な面で

切ったときに増える表面積は、平行な面の面積×２です。

①に平行な面で１回、②に平行な面で１回、③に平行な面で２回

切ったので、①の面積×２＋②の面積×２＋③の面積×４ が

元の直方体より増えます。

元の直方体の表面積が

　（３×４＋４×５＋５×３）×２＝９４ｃ㎡

なので、合計の表面積は、

　９４＋３×４×２＋４×５×２＋５×３×４＝２１８ｃ㎡　

となります。

　（２） （１）と同様に考えると、

　（Ａ＋１）×（Ｂ＋１）×（Ｃ＋１）＝９０個

表面積は、

　９４＋１２×２×Ａ＋２０×２×Ｂ＋１５×２×Ｃ＝４６２ｃ㎡

この２つの式が成り立ちます。

表面積の式をまとめると、

　２４×Ａ＋４０×Ｂ＋３０×Ｃ＝３６８　　

となります。ここからＡ，Ｂ，Ｃを調べることにします。　

２４，３０，４０の中で４０が最も大きい数字なので、Ｂを基準に

調べると、

Ｂ＝９のとき、式は成り立ちません。

Ｂ＝８のとき、Ａ＝２、Ｃ＝０　で式が成り立ちます。

Ｂ＝７のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝８８ にあてはまるＡ，Ｃはない

Ｂ＝６のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝１２８　にあてはまるＡ，Ｃはない

Ｂ＝５のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝１６８　のとき、

Ａ＝７、Ｃ＝０　　　Ａ＝２、Ｃ＝４　　の２つがあります。

Ｂ＝４のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝２０８　にあてはまるＡ，Ｃはない

Ｂ＝３のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝２４８　にあてはまるＡ，Ｃはない

Ｂ＝２のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝２８８　のとき

Ａ＝２、Ｃ＝８　　　Ａ＝７、Ｃ＝４　　　Ａ＝１２、Ｃ＝０　の３つ

Ｂ＝１のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝３２８　にあてはまるＡ，Ｃはない

Ｂ＝０のとき、２４×Ａ＋３０×Ｃ＝３６８　にあてはまるＡ，Ｃはない

以上の結果からは、（Ａ，Ｂ，Ｃ）は

（２，８，０）、（２，５，４）、（７，５，０）、（２，２，８）、（７，２，４）、

（１２，２、０）　の６組がありえることになります。

さらに、（Ａ＋１）×（Ｂ＋１）×（Ｃ＋１）＝９０を満たすかを調べると、

これを満たすものは、（２，５，４）だけであることがわかるので、

Ａ＝２回、Ｂ＝５回、Ｃ＝４回　となります。

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