規則性の問題 ｎ進法 第２問 （大阪桐蔭中学 2008年 算数入試問題）

問題　（大阪桐蔭中学　2008年　算数入試問題）　難易度★★★

０，２，８の数字だけを使って、次のような数の並びを作りました。

　　　　　　２，８，２０，２２，２８，８０，８２，８８，２００，・・・

（１）１２番目の数を答えなさい。　

（２）２００８は何番目か答えなさい。

（３）初めて現れる９の倍数の数は何番目か答えなさい。

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解答

　（１）２００以降を書いていくと、２０２，２０８，２２０，２２２，・・・

なので、１２番目は２２０です。

　（２）　０はこの並びに入っていないことに気をつけて、

数列の規則を見ると、１の位に入る数字は３個、１０の位に入る

数字も３個、１００の位、１０００の位・・・ともに３個なので、

２０００までに、３×３×３－１（最初のゼロは含まない）＝２６個の

数字が並び、その後２０００、２００２、２００８、と２７，２８，２９番目

の数字が並ぶので、２００８は２９番目です。

　００００　０００２　０００８　

　００２０　００２２　００２８

　００８０　００８２　００８８　」　３×３　－　１

　０２００　０２０２　０２０８

　０２２０　０２２２　０２２８

　０２８０　０２８２　０２８８　」　３×３

　０８００　０８０２　０８０８

　０８２０　０８２２　０８２８

　０８８０　０８８２　０８８８　」　３×３　　

　２０００　２００２　２００８

　（３）９の倍数は、各位の数字を足して９の倍数になれば、

その数は９の倍数です。　

詳しくは　→　こちら（９の倍数について）

最も小さいのは、２＋８＋８＝１８なので、２８８です。

「２８８」は最初から数えると、

　　２，　　８，　２０，　２２，　２８，　８０，　８２，　８８，２００，

２０２，２０８，２２０，２２２，２２８，２８０，２８２，２８８，

　９＋８＝１７番目 です。　

（２）より、３×３×２－１＝１７番目 とも導けます。

＜別解＞

　０，２，８を０，１，２とみなすと、この数の並びは

1，2，10，11，12，20，２１，２２，１００，１０１，１０１，１１１・・・

と、３進法で表せます。

　（１）１２は、１×３×３＋１×３＋０　より、３進法で１１０で、

２を１とみなしたので、元に戻すと、２２０　となります。

　（２）２００８は、１００２とみなすので、この３進法の１００２を

１０進法にすると、１×３×３×３＋０×３×３＋０×３＋２＝２９

となり、２９番目とわかります。（０は０番目と置けるので）

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