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2009年9月29日 (火)

図形の回転 第7問 (湘南白百合学園中学 2008年 算数入試問題)

問題  (湘南白百合学園中学  2008年  算数入試問題)

          難易度★★★★

 

下図のような図形ABCDがあります。円周率を3.14として

以下の問に答えなさい。

Pic_0469_3

(1)この図形を軸Lを中心に回転させたときにできる立体の

   体積を求めなさい。

(2)この図形を軸Mを中心に回転させたときにできる立体の

   表面積を求めなさい。

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解答

 (1)図形ABCDを軸Lを中心に回転させると、下図のようになり、

Pic_0471

図のように、台形ABCOを回転させた円すい台と、三角形OCDを

回転させた円すいとに分けられます。

 

CBの延長と軸Lの交点を点Pとすると、

三角形PABと三角形POCが相似で、その相似比は

AB:OC=5:8なので、それぞれの三角形を軸Lを中心に

回転させたときの体積比=5×5×5:8×8×8

となり、

三角形PABを軸Lを中心に回転させたものと円すい台の体積比

 =5×5×5 : 8×8×8-5×5×5=125:387 

なので

円すい台の体積

=5×5×3.14×20/3 ÷3 ÷125×387

=3.14×4×43(c㎥)

 

三角形OCDを軸Lを中心に回転させた円すいの体積

=8×8×3.14×6÷3=3.14×4×32(c㎥)

 

よって、体積の合計は、

 3.14×4×(43+32)=3.14×300=942(c㎥) 

となります。

 

 (2)図形ABCDを軸Mを中心にして回転させると、

左右対称ではないので、下図のように片方がもう片方に

重なります。

Pic_0472

図のように点D’E,F,Gを定めると、できる立体の表面積は、

三角形BCG、長方形BGFE、三角形AED’を軸Mを中心に

回転させたものの側面積と、ODを半径とした円の面積の合計

ということになります。

 

図のCG=3cm、三角形CD’Oと三角形CEFの相似より、

CF=16/3cm、OF=8-16/3=8/3cm、CE=20/3cm、

FG=5-8/3=7/3cm、三角形BCGと三角形CODの相似より、

BC=5cm です。

 

円すいの側面積は、母線×底面の半径×3.14

求められることを用いて、この立体の表面積を求めると、

 辺BCの回転した部分+辺BEの回転した部分

   +辺D’Eの回転した部分+底面

=5×4×3.14+4×2×3.14×7/3

  +(6×10-4×20/3)×3.14+6×6×3.14

=3.14×(20+56/3+100/3+36)

=3.14×108=339.12(c㎡) 

となります。

 

 

 湘南白百合学園中学の過去問題集は → こちら

 湘南白百合学園中学の他の問題は → こちら

 

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