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2009年9月 8日 (火)

平面図形の面積 第47問 (高槻中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題)

問題 (高槻中学 2007年 算数入試問題) 難易度★★★★

 

下の図1は、1辺12cmの正方形から、3辺の長さが3cm、4cm、

5cmの直角三角形を4つ切り取ったものです。このとき次の

問に答えなさい。 

 (1)三角形ABHの面積を求めなさい。

 (2)四角形ABGHのと四角形ADEHの面積比を最も簡単な

    整数比で表しなさい。

 (3)三角形AHIの面積を求めなさい。

 (4)図2のように、AH,BC,DE,FGを斜辺として、3辺の長さが

    3cm、4cm、5cmの直角三角形を図に加えたところ

    元の正方形と同じになった。必要ならばこのことを使って

    図の色のついた部分の面積を求めなさい。

Pic_0396

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解答

 (1)三角形ABHの面積は、底辺5cm、高さ4cmなので、

        5×4÷2=10c㎡ です。 

 

 (2)四角形ABGHの面積は、上底3cm、下底4cm、高さ12cm

の台形から、3cm、4cm、5cmの直角三角形を2個除いたもの

なので、(3+4)×12÷2-3×4÷2×2=42-12=30c㎡

 四角形ADEHの面積は、底辺5cm、高さ12cmの平行四辺形

なので、5×12=60c㎡

 よって面積比は、30:60=1:2 です。

 

 (3)AHと平行な線をBから引き、GF、AGの延長との交点を

それぞれJ,Kとし、元の正方形のAHを含む辺の頂点を図のように

L、Mとします。

Pic_0397

すると三角形ALGと三角形KJGが相似で、

MB=4cm、LG=3cmなので、GJ=1cmとなり、

相似比はLG:GJ=3:1ですので、JK=AL÷3=3cmです。

 

次に、三角形AHIと三角形KBIが相似で、

相似比はAH=5cm、BK=12+3=15cmなので、

5:15=1:3となり、HI:IB=1:3とわかります。

よって、三角形AHIの面積は、

     三角形ABHの面積÷4=10÷4=2.5c㎡ 

と求められます。

 

 (4)図の対称性と問題の条件から、下図の黄色い三角形と

赤い三角形は合同といえます。面積は(3)より2.5c㎡ です。

Pic_0398

三角形ABHの面積が10c㎡ なので、青い三角形の面積は

10-2.5×2=5c㎡

三角形AGHの面積は5×3÷2=7.5c㎡ なので、

求める面積は、(三角形AGHの面積+青い三角形の面積)×4

に等しく、(5+7.5)×4=50c㎡ となります。

 

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