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2009年9月28日 (月)

立体図形の切り口 第12問 (立教新座中学 2007年(平成19年度) 算数入試問題)

問題 (立教新座中学 2007年 算数入試問題)

     難易度★★★★★

 

図のような三角柱があります。

  Pic_0464_2

(1)この三角柱を3点B,D,Fを通る平面で切ったとき、

   点Aを含む立体の体積を求めなさい。

 

(2)この三角柱を3点P,Q,Rを通る平面と、3点P,Q,Sを

   通る平面で同時に切ったとき、辺RSを含む立体の体積を

   求めなさい。

 

(3)この三角柱を3点B,D,Fを通る平面と、3点C,D,Eを

   通る平面で同時に切ったとき、点Aを含む立体の体積を

   求めなさい。

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解答 

 (1)元の三角柱の体積は、5×12÷2×8=240c㎥ です。

 

3点B,D,Fを通る平面で切ると、三角柱から、

三角すいB-DEFが切り取られます。

三角すいB-DEFの体積は、

 5×12÷2×8÷3=80c㎥ 

なので、点Aを含む立体の体積は、

 240-80=160c㎥ 

となります。

 

 (2)この三角柱を3点P,Q,Rを通る平面と、3点P,Q,Sを

通る平面で同時に切ると、下図のようになります。

   Pic_0465

CFのまん中に点Tを取ると、三角形PQTは三角形ABC、

DEFと合同になります。

 

残った立体は、三角形PQTを底面とした三角すいR-PQTと、

三角すいS-PQTを合わせたもので、RT=3cm、ST=2cm

なので、この立体の体積は、

 5×12÷2×(3+2)÷3=50c㎥ 

と求められます。

 

 (3) この三角柱を3点B,D,Fを通る平面と、3点C,D,E を

通る平面で同時に切ると、下図のようになります。

BFとCEの交点を点Uとすると、

   Pic_0466_2

求める立体は、四角すいC-ABED から、三角すいU-BDEを

切り取ったものです。

 

さらに、点Uは、長方形BCFDの対角線の交点なので、

   Pic_0467

QT上にきます。 すなわち、角PQU=角PQT=90度となるので、

三角すいU-BDEは、三角形BDEを底面としたとき、

高さは、QU=12÷2=6cm となります。

 

よって、求める立体の体積は、

 5×8×12÷3-5×8÷2×6÷3=160-40=120c㎥ 

です。

 

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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