規則性の問題 数の並び 第１０問 （循環小数） （駒場東邦中学 2006年、早稲田実業 2006年、雙葉中学 2006年、早稲田中学 2006年、江戸川学園取手中学 2009年、カリタス女子中学 2008年、洛南高校附属中学 2002年、女子学院中学 2002年 入試算数問題）

問題　（入試算数問題）　難易度★

　（１）分数：２７７/３３３ を小数で表したとき小数第2006位に現れる

　　　 数字を答えなさい。　　　　　　　　　（駒場東邦中学　2006年）

　（２）分数：１/７　を小数で表したとき小数第700位に現れる数と

　　　 小数第2006位に現れる数の積を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （早稲田実業中等部　2006年）

　（３）分数：２７/１８５　を小数で表したとき小数第１００位に現れる

　　　 数字を答えなさい。　　　　　　　　　　　　 （雙葉中学　2006年）

　（４）分数：１/１３　を小数で表したとき小数第６０３位までに現れる

　　　 数字をすべて足すと、いくらになるか答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （早稲田中学　2006年）

　（５）分数：５/１３　を小数で表したとき小数第2009位に現れる

　　　 数字を答えなさい。　　　　 　 （江戸川学園取手中学　2009年）

　（６）分数：４/１１　を小数で表したとき小数第２０位に現れる

　　　 数字を答えなさい。　　　　　　 　　（カリタス女子中学　2008年）

　（７）分数：１５８/１１１１　を小数で表したとき、小数第７位と

　　　 小数第2002位に現れる数字を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（洛南高校附属中学　2002年）

　（８）分数：２３/７０　を小数で表したとき、小数第６５位に現れる

　　　 数字を答えなさい。　　　　　　　　　　 （女子学院中学　2002年）

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解答

　基本問題です。

　（１）２７７/３３３＝0.831831・・・　となり、３つの数字「８３１」の

くり返しで、２００６÷３＝６６８あまり２　なので、小数第2006位は

「８３１」を６６８回くり返した後の２番目の数字「３」　となります。

　（２）１/７＝0.142857142857・・・　となり、６つの数字「142857」の

くり返しで、７００÷６＝１１６あまり４、２００６÷６＝３３４あまり２

なので、小数第700位は４番目の「８」、小数第2006位は２番目の

「４」となり、８×４＝３２　です。

　（３）２７/１８５＝0.1459459・・・　となり、３つの数字「４５９」が

くり返されます。第１位に「１」が出ているので、第１位を除く

１００－１＝９９　は３の倍数なので、第１００位は「９」となります。

　（４）１/１３＝0.076923076923・・・となり、６つの数字「076923」が

くり返されます。６０３÷６＝１００あまり３なので、小数第６０３位

までに現れる数字をすべて足すと、

（0+7+6+9+2+3）×１００＋（0+7+6）＝2713　となります。

　（５）５/１３＝0.384615384615・・・となり、６つの数字「384615」が

くり返されます。2009÷６＝３３４あまり５なので、小数第2009位の

数字は、５番目の「１」となります。

　（６）４/１１＝０．３６３６３６・・・ となり、奇数番目は３、

偶数番目は６ なので、小数第２０位は、「６」になります。

　（７）158/1111＝0.14221422・・・となり、４つの数字「1422」が

くり返されます。小数第７位は「２」、2002÷４＝500あまり２

なので、小数第2002位は、「４」です。　

　＜別解＞

一般に、

　　□/９＝０．□□・・・

　　□○/９９＝０．□○□○・・・

　　□○△/９９９＝０．□○△□○△・・・

　　□○△☆/９９９９＝０．□○△☆□○△☆・・・

となります。

　　このことを利用すると、１５８/１１１１＝１４２２/９９９９

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ＝0.14221422・・

　　割り算を計算するよりも、１５８×９を計算した方が速い

かもしれません。

　（８）２３/７０＝0.3285714285714285714・・・となり、３の後ろが

６つの数字「２８５７１４」のくり返しなので、小数点以下は、

１個＋６個＋６個＋６個＋６個＋・・・より、小数第６５位は、

（６５－１）÷６＝１０あまり４なので、４番目の「７」です。