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2009年9月 2日 (水)

立体図形の切り口 第8問 (久留米大学附設中学 2006年(平成18年度) 算数入試問題)

問題 (久留米大学附設中学 2006年) 難易度★★★★

 

下の図は、たて9cm、よこ12cm、高さ9cmの直方体から

三角すいを2つ取り除いた8面体の立体です。三角形ABCの

面は空いていて、ここから立体の中に水を入れていきます。 

水を高さ3cmのところまで入れたとき、次の問に答えなさい。

Pic_0371

 (1)水面の形を答えなさい。

 (2)水面の周の長さと、面積を答えなさい。

 (3)入っている水の体積を答えなさい。

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解答 

 (1)8面体の水面は、面ABCと面DEFの2面に接していない

ので 8-2=6面に接しています。よって、辺が6個あるので

6角形です。

 

 (2)水面がどうなっているか図に描いてみると 

Pic_0372

図形の相似性から、水面は上図のようになります。

斜辺以外が3cm、4cmの直角三角形の斜辺は5cmなので、

左下の直角三角形の斜辺は5cm、右上の直角三角形の斜辺は

10cmです。よって、水面の周の長さは

 4+6+5+8+3+10=36cm

です。

 

水面の面積は、

 12×9-(3×4÷2+6×8÷2)=78c㎡

と求められます。

 

 (3)体積は、たて9cm、よこ12cm、高さ3cmの直方体から、

三角すいと、三角すい台の体積を除けばよいです。

三角すいの体積は、3×4÷2×3÷3=6c㎥

三角すい台の体積は、元の三角すいの高さが9cm、

上の三角すいの高さが6cmで、相似比9:6=3:2なので、

Pic_0373

体積比は

 3×3×3:2×2×2=27:8

です。

 

よって、三角すい台と元の三角すいの体積比は

 27:27-8=27:19

より、三角すい台の体積は、

 9×12÷2×9÷3÷27×19=114c㎥

となります。

 

よって、求める体積は、

 9×12×3-(6+114)=204c㎥

です。

 

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