規則性の問題 数の並び 第１１問 循環小数 （開成中学 2006年 受験算数問題）

問題　（開成中学　2006年　受験算数問題）　難易度★★★

ａ、ｂは整数で、ａ の方がｂよりも大きいとします。このとき分数ｂ/ａ

に対して、数＜ｂ/ａ＞を次のように定めます。

　割り算ｂ÷ａ をして、小数点以下どこまでも割り切れないときは、

ある数字の並びがくり返し現れるので、下の例１，２のように、

くり返しの１つ目より後ろに続く部分を切り捨てて、それを＜ｂ/ａ＞

と定めます。

　割り算ｂ÷ａ が小数第何位かで割り切れるときは、例３のように

それをそのまま＜ｂ/ａ＞と定めます。

　例１　　　３/１１＝0.2727・・・　なので、＜３/１１＞＝0.27　です。

　例２　　　３/２２＝0.13636・・・ なので、＜３/２２＞＝0.136　です。

　例３　　　３/１６＝0.1875　なので、＜３/１６＞＝0.1875　です。

（１）　＜１７/３７＞、および、１７/３７　－ ＜１７/３７＞　を計算

　　　 しなさい。ただし、答えは分数で表し、約分できるときは必ず

　　　 約分すること。

（２）　□の中に同じ整数を入れて、３/□　－　＜３/□＞と、

　　　 ３/□　×　１/1000000　を計算します。３０以下の整数を

　　　 入れてこの計算をしたところ、２つの計算の結果が等しくなる

　　　 整数が３個だけありました。この３個の整数を答えなさい。

　　　 また、それぞれの場合について＜３/□＞を小数で表しなさい。

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解答

　（１）１７/３７を計算すると、0.459459・・・となるので、

＜１７/３７＞＝0.459＝４５９/１０００　となります。

４５９＝９×５１＝９×３×１７　なので、１０００と約分できません。　　　

次に、１７/３７　－　＜１７/３７＞を計算すると、0.000459459・・・

となります。これは、１７/３７　÷　1000　を計算したものと同じです。

よって、答えは、１７/３７０００　です。

　（２）（１）から、３/□　－　＜３/□＞の計算をすると、

３/□の小数部分のくり返し現れる部分の最初の第１部分がなくなる

ということがわかります。

３/□　－　＜３/□＞　と　３/□　×　１/1000000　が等しいという

ことは、くり返し現れる部分が、６個ずつのくり返し、または

１個＋５個のくり返し、または２個＋４個のくりかえし、３個＋４個の

くり返し、なのではないかと想像できると思います。

　６個のくり返しとしてまず思い浮かぶのは、

１/７＝0.142857142857・・・　です。

そこで、３/７を計算すると、0.4285714285714285714・・・なので、

＜３/７＞＝0.428571　となり、条件を満たします。

さらに、□＝７×３＝２１にすれば、＜３/２１＞＝0.142857　なので、

条件を満たします。

次に、７の倍数として、３/１４　と　３/２８を検証すると、

３/１４＝0.2142857142857・・・なので、

＜３/１４＞＝0.2142857→×

３/２８＝0.107142857142857　なので、×

　残りの１つは、計算力の問題になると思います。

片っ端から計算するしかないでしょう。

４から１２までは、７以外に条件に合うものはないです。

１３を計算すると、３/１３＝0.230769230769・・・なので、

＜３/１３＞＝0.230769　となり、条件に合います。

よって、答えは７，１３，２１で、

　＜３/７＞＝0.428571

　＜３/１３＞＝0.230769

　＜３/２１＞＝0.142857　　

となります。

小さい方から調べるとすぐ１３がわかりますが、大きい方（２９など）

から計算し始めたりすると、答えになかなかたどりつかないですね。

運やひらめきも実力のうちといったところでしょう。

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