数の性質 第２２問 （青山学院中等部 2006年、豊島岡女子学園中学 2006年 算数入試問題）

問題　（青山学院中等部　2006年、豊島岡女子学園中学　2006年

　　　 　算数入試問題）　難易度★★★

　【１】立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの各頂点に１から８までの整数を

割り当てます。立方体の各面に、その面の４つの頂点の

数の合計を表示します。いま頂点Ａに１を割り当てたところ

面ＡＢＣＤには「１８」、面ＡＢＦＥには「２２」が表示されました。

このとき、次の問に答えなさい。　

　　　　　　

（１）面ＥＦＧＨに表示される数を答えなさい。

（２）頂点Ｂに割り当てられた整数を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（青山学院中等部　2006年）

　【２】図のように、立方体の８つの頂点にボールを入れることが

できるようにしました。ボールには、①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧

の８種類の数が書かれています。

　　

立方体の面に、面を囲む頂点に入れたボールの数の和を書くと

図のようになりました。このとき、青い面に書くことのできる数の

うち、最も大きい数を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（豊島岡女子学園中学　2006年）

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解答

　【１】（１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ

　　　　　 ＝ １+２+３+４+５+６+７+８ ＝ ３６

面ＡＢＣＤの数が１８なので、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１８　ということなので、

面ＥＦＧＨに表示される数は、３６－１８＝１８　となります。　　

　（２）Ａには１が割り当てられているので、Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１７、

Ｂ＋Ｅ＋Ｆ＝２１　です。

ここで、６＋７＋８＝２１なので、Ｂ，Ｅ，Ｆには６，７，８のどれかが

割り当てられることになります。

Ｂが６のとき、Ｃ＋Ｄ＝１１　

Ｃ，Ｄの組は、（３，８）（４，７）（５，６）が考えられますが、

６，７，８はＢ，Ｅ，Ｆに割り当てられるので、すべて不適です。

Ｂが７のとき、Ｃ＋Ｄ＝１０

Ｃ，Ｄの組は、（２，８）、（３，７）、（４，６）が考えられますが、

やはり６，７，８はＢ，Ｅ，Ｆに割り当てられるので、不適です。

Ｂが８のとき、Ｃ＋Ｄ＝９

Ｃ，Ｄの組は、（２，７）、（３，６）、（４，５）が考えられ、

このうち（４，５）だけがＢ，Ｅ，Ｆの６，７，８を用いないので、

Ｂは８で、Ｃ，Ｄは４か５となります。

よって、Ｂは８が割り当てられます。

　【２】上の面に書かれた数が「１０」ですが、和が１０になるのは

　　 １＋２＋３＋４＝１０ のときのみなので、

立方体の上面の４つの頂点に入れるボールは、

　①、②、③、④ の４つであることがわかります。

次に、手前の面に書かれた数が「１４」なので、和が１４に

なるような組み合わせを考えると、

　１＋２＋３＋８

　１＋２＋４＋７

　１＋２＋５＋６

　１＋３＋４＋６

の４通りが考えられますが、１，２，３，４は上の面で使われるので

１＋２＋５＋６＝１４ のみが条件に合い、他の３つは不適切です。

よって、上の面に①、②、③、④、手前の面に①、②、⑤、⑥ が

入り、右の面の数の和が最も大きくなるようにボールを入れると

下の図のようになり、

右の面の最後の頂点に最も大きい数である⑧を入れれば、

ボールの数の和が、最大の２＋４＋６＋８＝２０ になります。

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