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2009年9月 3日 (木)

図形の移動 第5問 (大阪星光学院中学 2006年(平成18年度) 算数入試問題)

 

問題 (大阪星光学院中学 2006年 算数入試問題)

    難易度★★★★

 

図のように直線L 上に直角二等辺三角形OBCの斜辺BCがあり、

OBを半径とした中心角120°の扇形OABがあります。 

Pic_0378

この図形をCを中心に、ACが直線L 上にくるまで回転させます。

OA=3cm のとき、次の問に答えなさい。

 (1)角OCAの大きさを求めなさい。

 (2)扇形OABが通った部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1)OA=OB=OCなので、三角形AOCは二等辺三角形です。

角AOC=360-(120+90)=150°なので、 

角ACO=(180-150)÷2=15°です。

 

 (2)角ACB=45+15=60°なので、

ACが直線L 上にくるまで回転させると、180-60=120°回転

させることになります。

 

回転させた図形を描くと、下の図のようになります。

Pic_0379

Cを中心としたとき、扇形OABは、どこを半径として回転するかと

いうと、CはOを中心とした半径3cmの円周上にあるので、

Cから一番遠いところは、COをそのまま延長して、扇形AOBの

円周との交点となる点Dです。すなわち、CDは直径となる点Dが

Cから最も遠い位置にあります。

CDを半径として120°回転させます。

回転した位置にある点を、それぞれO’、A’、B’、C’、D’とします。

 

扇形AOBの通った部分の面積は、

扇形BODの面積+扇形A’O’D’の面積

+(扇形DCD’の面積-扇形OCO’の面積) で求められます。

Pic_0380

扇形BODの面積+扇形A’O’D’の面積=扇形AOBの面積

=3×3×3.14×120/360=3×3.14

扇形DCD’の面積-扇形OCO’の面積

=(6×6-3×3)×3.14×120/360

=9×3.14 

 

よって、扇形AOBが通った部分の面積は、

  (3+9)×3.14=12×3.14=37.68c㎡

と求められます。

 

 

 大阪星光中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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