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2009年9月10日 (木)

立体図形の体積 第4問 (投影図) (聖光学院中学 2003年(平成15年度) 算数入試問題)

問題 (聖光学院中学 2003年 算数入試問題) 難易度★★★★

Pic_0410

図1は、1辺2cmの立方体から、いくつからの立体をくり抜いた

ものを真上から見た図です。図2は、図1の矢印②の方向から

立体をみた図で、図3は、図1の矢印③の方向から立体を見た

図です。図の点線は実際には見えない線を表しています。

立体の側面はすべて底面に垂直で、図1の曲線は立方体の

頂点を中心とした中心角90度の扇形の円周です。

このとき次の問に答えなさい。

 (1)図1の矢印①の方向から立体を見たときの図を、

    図2,3のように描きなさい。

 (2)この立体の体積を求めなさい。

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解答

 (1)投影図の問題です。図1、図2、図3を元に考えると、

この立体は図4のような立体になりますので、これを矢印①の

方向から見ると、図5のようになります。

    Pic_0411

(2)この立体は、下段の立方体の半分の部分と、

上段の図6の青い部分と赤い部分の柱に分けることができます。

赤と青の部分の面積は、

  扇形B-ACから三角形ABEと三角形CDE を引いた

もので、

  2×2×3.14×90/360-(2×1÷2+1×1÷2)

=1.64c㎡

 

よって、赤と青の部分の体積は、

  1.64×1cm=1.64c㎥ 

です。

 

下段の部分は、

  2×2×1=4c㎥

なので、この立体の体積は、

  1.64+4=5.64c㎥

となります。

 

 

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