平面図形の長さ 第６問 （開智中学 2005年（平成17年度） 受験問題 算数）

問題　（開智中学　2005年　受験問題　算数）　
　　　　難易度★★★★

半径４ｃｍの半円と正方形ＡＢＣＤがあり、
頂点Ｂ、Ｃは半円の直径上、頂点Ａ，Ｃは
半円の円周上にあります。下図のようにＯＤに
垂直な線ＡＨを引いたとき、次の問に答えなさい。

（１）ＡＨの長さを求めなさい。

（２）正方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

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解答

（１）下の図１のように、直角を利用して
図の中に相似な三角形を見つけます。

ＡＨを延ばして、ＣＤとの交点を点 Ｉ とすると、
三角形ＡＤＨ、三角形ＤＩＨ、三角形ＤＯＣ、
三角形ＡＩＤ の４つの三角形は相似で、三角形
ＡＩＤと三角形ＤＯＣは合同です。

次に、三角形ＡＯＤが二等辺三角形なので、
角ＯＡＤ＝角ＯＤＡで、下の図２のように、
角ＯＡＢ＝角ＯＤＣ、ＡＢ＝ＣＤ、ＯＡ＝ＯＤ から、
三角形ＯＡＢと三角形ＯＤＣは合同とわかり、
ＯＢ＝ＯＣ となります。

ＯＢ＝ＯＣなので、点Ｏは正方形の辺ＢＣを
二等分していて、三角形ＯＤＣにおいて、
ＯＣ：ＣＤ＝１：２ という直角三角形ということが
わかりますので、図１にあてはめると、下の図３のように

ＨＩ＝①とすると
　ＨＩ：ＨＤ＝①：②、ＨＤ：ＨＡ＝②：④
となります。

三角形ＡＩＤと三角形ＤＯＣが合同なので、
ＡＩ＝ＯＤ＝４ｃｍより、
　ＡＨ＝４÷５×４＝３．２ｃｍ
と求められます。

（２）正方形ＡＢＣＤの面積は、
三角形ＡＯＤの面積が正方形の半分に等しいことから、
　ＯＤ×ＡＨ÷２×２＝４×３．２＝１２．８ｃ㎡
です。

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