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2009年9月17日 (木)

平面図形の長さ 第6問 (開智中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数)

 

問題 (開智中学 2005年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

半径4cmの半円と正方形ABCDがあり、頂点B、Cは半円の

直径上、頂点A,Cは半円の円周上にあります。下図のように

ODに垂直な線AHを引いたとき、次の問に答えなさい。

Pic_1036q

(1)AHの長さを求めなさい。

(2)正方形ABCDの面積を求めなさい。

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解答

 (1)下の図1のように、直角を利用して図の中に

相似な三角形を見つけます。

Pic_1037a_2

AHを延ばして、CDとの交点を点 I とすると、

三角形ADH、三角形DIH、三角形DOC、三角形AID

4つの三角形は相似で、三角形ADHと三角形DOCは合同です。

 

次に、三角形AODが二等辺三角形なので、角OAD=角ODAより、

下の図2のように、角OAB=角ODC、AB=CD、OA=OD から、

三角形OABと三角形ODCは合同とわかり、OB=OC となります。

Pic_1038a

すると、三角形ODCにおいて、OC:CD=1:2 という直角三角形

ということがわかりますので、図1にあてはめると、下の図3のように

HI=①とすると

 HI:HD=①:②、HD:HA=②:④

となります。

Pic_1039a

三角形AIDと三角形DOCが合同なので、AI=OD=4cmより、

 AH=4÷5×4=3.2cm

となります。

 

 (2)正方形ABCDの面積は、三角形AODの面積が

正方形の半分に等しいことから、

 OD×AH÷2×2=4×3.2=12.8c㎡

です。

 

 

 開智中学(埼玉)の過去問題集は → こちら  

 開智中学の他の問題は → こちら

 

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