平面図形の面積 第４２問 （白百合学園中学 2009年（平成21年度） 算数入試問題 改題）

問題　（白百合学園中学　2009年　改題）　難易度★★★★

中心角６０°の扇形ＯＡＢのＡＢ上に、ＡＣ＝ＢＣとなるように点Ｃを

とります。点Ｃをひとつの頂点とする長方形ＣＤＥＦを扇形ＯＡＢに

接するように描きます。点ＤはＯＢ上、ＥＦはＯＡ上にあります。

ＥＦ上にＥＭ＝ＦＭとなるように点Ｍをとり、ＤＦ、ＤＭとＯＣの交点を

それぞれ点Ｇ，点Ｈとしたとき、ＧＨ＝２．４ｃｍでした。　

ＯＤ：ＯＥ＝２：１のとき、三角形ＯＡＣの面積を求めなさい。

　　　

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解答

　ＡＣ＝ＢＣなので、角ＡＯＣ＝角ＢＯＣ＝６０÷２＝３０度です。

ＯＡとＣＤは平行なので、角ＡＯＣ＝角ＯＣＤ＝３０度で、　

角ＤＯＣ＝角ＯＣＤ＝３０度より、三角形ＯＤＣは二等辺三角形で

ＣＤ＝ＯＤです。

ＯＤ：ＯＥ＝２：１なので、ＯＥ＝ＣＤ÷２＝ＥＭ＝ＦＭ

よって、ＯＤ＝ＯＭなので、三角形ＯＤＭは二等辺三角形で、

角ＡＯＢ＝６０度なので、三角形ＯＤＭは正三角形となります。

ゆえに、角ＯＭＤ＝６０度、角ＥＤＭ＝３０度、角ＤＨＧ＝９０度です。

　　　

三角形ＯＤＥ と三角形ＧＤＨは相似なので、

ＧＤ＝２．４×２＝４．８ｃｍ　、さらに三角形ＧＣＤも相似なので

ＧＣ＝ＧＤ×２＝９．６ｃｍ　です。

三角形ＯＤＧは、角ＧＯＤ＝角ＯＤＧ＝３０度の二等辺三角形で、

ＯＧ＝ＧＤ＝４．８ｃｍ　です。

よって、ＯＣ＝４．８＋９．６＝１４．４ｃｍ

三角形ＯＣＦと三角形ＯＤＥが相似なので

　ＣＦ＝１４．４÷２＝７．２ｃｍ

ゆえに、ＯＣ＝ＯＡ＝１４．４ｃｍ なので、三角形ＯＡＣの面積は、

　ＯＡ×ＣＦ÷２＝１４．４×７．２÷２＝５１．８４ｃ㎡　

と求められます。　　　

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