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2009年8月11日 (火)

平面図形の面積 第34問 面積比 (学習院中等科 2009年(平成21年度) 算数入試問題 改題)

問題 (学習院中等科 2009年 改題) 難易度★★★★

 下の図はどれも、ある図形の内側に円が接しており、その円の

中に、さらに別の図形の各頂点が接しています。このとき次の問に

答えなさい。

(1)図1の正方形ABCDの面積と正方形PQRSの面積比を

  簡単な整数比で答えなさい。

(2)図2の正三角形ABCの面積と正六角形PQRSTUの

  面積比を簡単な整数比で答えなさい。

(3)図3の正三角形ABCから正三角形ADEを除いた台形

  BCDEの面積と三角形PQRの面積比を簡単な整数比で

  答えなさい。

Pic_0293

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解答

 (1)図1は次のように変形できます。

  Pic_0294

正方形ABCDの面積の半分が正方形PQRSの面積です。

よって、面積比は、正方形ABCD:正方形PQRS=2:1です。

   

(2) 図2で、円の中心をOとして、正六角形の各頂点とOを

結ぶと、正三角形が6個できます。

次に、三角形OQBと三角形OSBについて見ると、

角BOQ=角BOS=60度、OB共通、OQ=OSなので、

三角形OQBと三角形OSBは合同です。

よって、角OBQ=角OBS=60÷2=30度、

角OQB=角OSB=180-(60+30)=90度とわかります。

    Pic_0295

すると角SORも60度なので、点RがOB上にあることがわかります。

さらに、角RSB=90-60=30度で、三角形RBSは二等辺三角形

で、RS=RBです。 ということは、OR=RB ということですね。

よって、三角形ORSの面積=三角形RBSです。

他の部分も同様にすることができ、正三角形ABCの中の正六角形

PQRSTUの面積が、それ以外の部分の面積に等しいことが

わかります。よって、図2の面積比は、

正三角形ABCの面積:正六角形PQRSTU=2:1です。

  

(3)図3は次のように描き直せます。

    Pic_0296

すなわち、正三角形PQRの面積は正三角形ABCの面積の4分の1

となっています。この状態でDEと円の接している点をMとすると、

    Pic_0297_2

(2)と同様にすれば、MはOA上にあり、角MAQ=角MQA=30度

三角形ADEは正三角形なので、

  角MEA=60度、角EMQ=90-60=30度となり、

三角形EMQは二等辺三角形ということがわかります。

さらに三角形AME と三角形AMDが合同なので、

DM=ME=EQ となり、AE:EQ=2:1ということがわかります。

 

これにより、正三角形ADEの面積:正三角形APQの面積比は

        2×2 : 3×3 = 4 : 9 だとわかります。

(なお、正三角形APQの面積=正三角形PQRの面積ですね。)

正三角形ABCは、正三角形APQの4個分なので、9×4=36

なので、台形BCDEの面積:正三角形PQRの面積比

= 36-4 : 9 = 32 : 9 となります。

    

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