立体図形の体積 第３問 （甲陽学院中学 2009年（平成21年度） 入試算数問題）

問題　（甲陽学院中学　2009年　入試算数問題）

　　　 　難易度★★★★

　表面積９００ｃ㎡の直方体があります。この直方体の

たて、よこ、高さをそれぞれ１ｃｍずつ減らすと、表面積は

１４２ｃ㎡ 減りました。　このとき次の問に答えなさい。

　（１）この直方体の、たて、よこ、高さの長さの合計を求めなさい。

　（２）この直方体の、たて、よこ、高さをそれぞれ１ｃｍ増やすと

　　　 体積は何ｃ㎥増えるか求めなさい。　

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解答

　（１）１ｃｍずつ縮めてみると、ある面（たて×よこの面）の面積は、

　　　　　　　

　（１×たて＋１×よこ－１） だけ減ります。　

２面あるので、（たて＋よこ－１）×２　減ります。

たて×高さの面では、（たて＋高さ－１）×２

よこ×高さの面では、（よこ＋高さ－１）×２　それぞれ減ります。

減った面積の合計は、

｛（たて＋よこ－１）＋（たて＋高さ－１）＋（よこ＋高さ－１）｝×２

＝｛（たて＋よこ＋高さ）×２－３｝×２　で、これが１４２ｃ㎡ なので

たて＋よこ＋高さ＝（１４２÷２＋３）÷２＝３７ｃｍ　です。

　＜別解－中学生の解き方＞

たてA cm、よこＢ ｃｍ、高さＣ ｃｍとすると、

元の直方体の表面積は、（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）×２＝９００

それぞれ１ｃｍ短くしたときの表面積は、

｛（Ａ－１）（Ｂ－１）＋（Ｂ－１）（Ｃ－１）＋（Ｃ－１）（Ａ－１）｝×２＝

２×[｛ＡＢ－（Ａ＋Ｂ）＋１｝＋｛ＢＣ－（Ｂ＋Ｃ）＋１｝

　＋｛（ＣＡ－（Ｃ＋Ａ）＋１｝]

＝元の直方体の表面積－１４２＝２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）－１４２

これを解くと、２｛３－２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）｝＝１４２　で、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ ３７ｃｍ　となります。

　（２）たて、よこ、高さをそれぞれ１ｃｍずつ増やすと、

どれくらい体積が増えるかを図で描くと、下図のようになります。

　　　

黄色い部分は、増えたのが１ｃｍなので、元の直方体の

表面積の半分、すなわち９００÷２＝４５０ｃ㎥ です。

さらに、黄色い部分を除くと、

1辺１ｃｍの正方形×（たて＋よこ＋高さ）＋１辺１ｃｍの立方体

＝３７＋１＝３８ｃ㎥　の部分があります。

よって、増える体積＝４５０＋３８＝４８８ｃ㎥　と求められます。

　＜別解－１＞

たて＋よこ＋高さ＝３７ｃｍとなる直方体を作ります。

たとえば、１０ｃｍ、１０ｃｍ、１７ｃｍの直方体とします。

これをたて、よこ、高さを１ｃｍずつ増やすと、

たて、よこ、高さは、１１ｃｍ、１１ｃｍ、１８ｃｍです。

この体積差を計算すると、１１×１１×１８－１０×１０×１７

＝２１７８－１７００＝４８８ｃ㎥  です。

本当かどうか、確かめ算として、もう１つ例として、

たて、よこ、高さ＝１０ｃｍ、２０ｃｍ、７ｃｍの直方体が

たて、よこ、高さ＝１１ｃｍ、２１ｃｍ、８ｃｍになったとすると、

１１×２１×８－１０×２０×７＝８８×１９－１４００＝４８８ｃ㎥です。

よって、増える体積は４８８ｃ㎥  です。

なお、表面積が９００という条件を満たさないと、正しい答には

なりません。あせって、２ｃｍ、２ｃｍ、３３ｃｍ　などとすると、

表面積は（４＋６６＋６６）×２＝２７２ｃ㎡　で、条件と違います。

これが１ｃｍ増えて、３ｃｍ、３ｃｍ、３４ｃｍとして、体積差を計算

すると、３４×３×３－３３×２×２＝１７４ｃ㎥　で、間違いです。

数をあてはめて解く場合、条件には気をつけましょう。

　＜別解－２－中学生の解き方＞

たて、よこ、高さがＡ，Ｂ，Ｃ からＡ＋１、Ｂ＋１、Ｃ＋１　

になったとすると、体積差は、

　（Ａ＋１）（Ｂ＋１）（Ｃ＋１）－ＡＢＣ　で、これを展開すると

＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋１

ここで、

　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３７　、　２×（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）＝９００　

より、

＝４５０＋３７＋１＝４８８ｃ㎥　

となります。

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