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2009年8月 5日 (水)

点の移動 第1問 (横浜共立学園中学 2009年 算数入試問題)

 

問題 (横浜共立学園中学 2009年 算数入試問題)

     難易度★★★

 

面積18c㎡の正六角形ABCDEFがあります。点Pが頂点Aを

出発し、A→B→C→Dまで、点Qは頂点Dを出発し、D→E→F→A

まで、正六角形の辺上をそれぞれ一定の速度で移動します。

点P,点Qが同時にA,Dを出発したとき、それぞれD,Aに着くまで

12秒かかりました。このとき次の問いに答えなさい。

 

(1)P,Qが出発して2秒後の三角形APQの面積を求めなさい。

(2)P,Qが出発して5秒後の三角形APQの面積を求めなさい。

(3)三角形APQの面積が正六角形の面積の5分の1になる

  のは、出発してから何秒後と何秒後か答えなさい。

   Pic_0261

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解答

 (1)12秒で3辺移動するので、1辺移動するのに4秒必要です。

よって、2秒後には、点P,Qはそれぞれ辺AB,DEの真ん中に

いることになります。

    Pic_0262

この面積は等積変形すると

    Pic_0263_2

四角形ABCDは正六角形の2分の1の面積で、

三角形BCDは正六角形の6分の1の面積、

残りの三角形ABDは、残りで、正六角形の3分の1の面積なので

三角形APQの面積は、三角形ABDの面積の半分なので

18÷3÷2=3c㎡ となります。

   

 (2)5秒後には、点Pは辺BCの4分の1、点Qは辺EFの4分の1

のところまで進みます。

Pic_0264

線分PQは必ず正六角形の中心O(AD,BE,DFの交点)を

通ります。よって、AOとBC,EFが平行なので、AOを底辺とする

三角形AOPは三角形AOB、三角形AOQは三角形AODに

等積変形でき、その合計面積は正六角形の3分の1なので、

三角形APQの面積は、18÷3=6c㎡ となります。

   

(3)三角形ABEは正六角形の3分の1の6c㎡なので、

三角形APQが正六角形の5分の1になるのは点Pが辺AB上に

あるときです。辺AB上に点Pがいるときは、面積は高さが

一定なので、Pが進むのに比例して増えるので、

     Pic_0265

4÷6×18/5=2.4秒後に5分の1の面積になります。

また、図形の対称性から、出発から2.4秒後の面積と

到着の2.4秒前の面積は等しく、

       Pic_0266

出発から12-2.4=9.6秒後にも5分の1の面積となります。

 

 

 横浜共立学園中学の過去問題集は → こちら

 横浜共立学園中学の他の問題は → こちら

 

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