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2009年8月 7日 (金)

平面図形の面積 第33問 折り紙の復元 (駒場東邦中学 2009年(平成21年度) 算数入試問題)

問題 (駒場東邦中学 2009年 算数入試問題)

     難易度★★★★★

 

正方形の紙を次の手順に従って折っていきます。

  ①まず、半分に折り、折り目をつけます。

  ②その折り目に頂点がくるように図のように折ります。

  ③折り目と対称の位置にある頂点を、さきほどの頂点に

    重なるよう折ります。

  ④最後に折り目に沿って半分に折ります。

このとき次の問いに答えなさい。

  Pic_0281

(1)図のAD,FGに沿って、この正方形をはさみで切ったとき、

四角形ADGFでできる図形をS、三角形EFGでできる図形をTと

したとき、SとTはどのような形になるか、元の正方形に描きなさい。

  

(2)SはTの何倍の面積か答えなさい。

  

(3)DGの真ん中の点をMをして、線分MF上をはさみで切ると

   できる図形のうち、最も小さい図形は、Sの面積の何倍か

   答えなさい。

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解答

002_3

 (1)まず、この問題では正三角形が登場することに気づきましょう。

Pic_0282

図の三角形ABIは正三角形になります。BCを中心に折り返した

ので、AB=BI、また、DIを中心に折り返すので、AI=BI となり、

3辺が等しいです。よって、角ABI=60°で、角ABD=30°です。

折り返しているので、角ABE=角EBI=30°です。

よって角BEH=60°となり、折り返しているので、

角BED=角AED=60°です。よって三角形ADEも三角形BEDも

正三角形で、さらに三角形ACEも正三角形です。

これを踏まえて、折り紙を広げていくと、

Pic_0283_2

Sが水色部分、Tが黄色部分となります。       

     

 (2)BEの中点をF’とすると、BF’=F’Eです。

六角形ADBE I CにおけるSとTの面積比は、3:1です。

三角形GEFの大きさを①とすると、⑫:④です。

三角形EBIにおけるSとTの面積比は1:1で、②:②です。

よって、合計では ⑫+② : ④+②= ⑭:⑥ =7:3なので、

SはTの7/3倍です。  

   

(3)MFの線も図に書き込むと、

 Pic_0284_2

となります。MFを切ってできる最も小さい図形は三角形F’HJです。

BF’:F’E=1:1なので、三角形BF’Hと三角形EF’Hの面積は

等しいですね。なので、BJ:JHを求めます。F’Hに平行な線を

Bから引き、F’Jとの交点をLとします。

Pic_0285_2

すると、EH:HK=2:1なので、図のように

三角形F’HKと三角形KLNが1:1の合同に作られるので、

BJ:JH=F’H:BL=1:3ということがわかります。

よって、できる三角形F’JHの面積は三角形EF’Hの4分の1です。

 三角形EF’Hの面積=①、S=⑭ なので、

三角形F’JHの面積 : S =1/4 :14=1:56 となり、

三角形F’JHの面積は、Sの面積の 56分の1倍 です。

    

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