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2009年8月21日 (金)

図形の回転 第6問 (渋谷教育学園渋谷中学 2008年 入試算数問題)

問題 (渋谷教育学園渋谷中学 2008年) 難易度★★★★

 図のような図形ABCDEFと直線L があり、BCは直線L 上に

あります。この図形ABCDEFを直線Lを軸として1回転させた

ときにできる立体の体積を求めなさい。円周率は3.14とします。

Pic_0323

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解答

 EFと直線Lの交点をGとします。

 直線Lの上下に図形があるので、一方にまとめると、

Pic_0325

図のようになります。FからABに垂線を下ろし、

AB,CDとの交点をP,Qとし、CDとAFの交点をHとすると、

AP=6-1.5=4.5cm、FQ=3cm、FP=9cmで、

三角形APFと三角形HQFは相似なので、

AP:FP=HQ:FQ となり、4.5:9=HQ:3 より、

HQ=1.5cm であることがわかり、CQ=1.5cmなので

CH=CD=3cm ということから、HとDは同じ、

すなわち、折り返したDはちょうどAF上にきます。

 

さらに、AFの延長と直線Lの交点を点Rとすると、

三角形FQDと三角形RGFは合同なことがわかるので、

GR=3cmです。

Pic_0324

よって、この図形を直線Lを軸に回転させると、

台形ABCDと正方形CDEGを回転させた立体になります。

まず台形ABCDを回転させたものの体積を求めると、

底面がABを半径とする円の円すいから、

底面がCDを半径とする円の円すいを除いた円すい台で、

それぞれの円すいの高さはBR=12cmとCR=6cm

相似比が2:1なので、体積比=2x2x2:1x1x1=8:1で、

円すい台の体積=三角形CDRを回転させた体積×7

=3×3×3.14×6÷3×7=18×7×3.14=126×3.14

 

次に正方形CDEGを直線Lを軸に回転させると、

3×3×3.14×3=27×3.14

  

よって、求める体積=126×3.14+27×3.14

            =153×3.14=480.42c㎥ となります。

    

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