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2009年8月20日 (木)

規則性の問題 操作 第5問 (甲陽学院中学 2008年 算数入試問題)

問題 (甲陽学院中学 2008年 算数入試問題) 難易度★★★

 ある整数に対して次のような作業を行います。

    ① : 整数が偶数の場合は、2で割る。

    ② : 整数が奇数の場合は、5を加えて2で割る。

 

この作業をくり返し、整数が1になったら作業を終えます。

このとき、ある整数Aに対する作業の回数を<A>と

表すことにします。たとえば、<7>=5です。

    7(→12)→6→3(→8)→4→2→1(5回)

このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)<17>を求めなさい。

 (2)<A>=7となる整数Aのうち、最大のものと最小のものを

    求めなさい。

 (3)この作業を何度くり返しても1にならない3けたの整数は

    何個あるか答えなさい。

--------------------------------------------------

解答

 (1)17(→22)→11(→16)→8→4→2→1 なので、

5回の作業をすることになります。よって、<17>=です。

 

 (2)<A>=7 となる整数Aのうち、最大のものは、

ずっと2で割られたものです。すなわち、

1→2→4→8→16→32→64→128 2で7回割った128です。

次に、最小のものは、途中で5を引くことができるときに引いた場合。

1→2→4(→8)→3→(6→)1→×

1→2→4(→8)→3→6(→12)→7(→14)→9(→18)→13

よって、最小のものは13です。

  

(3)(1)、(2)より、2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18は

この作業で1になることがわかります。(過程に登場しているので)

登場していない、5,10,15について検証してみると、

5(→10)→5となり、5はずっと5のままです。

10→5→5→5、 15→20→10→5→5→5、 20→10→5

25→30→15→20→10→5→5→5

よって、5の倍数は、この作業を何度くり返しても5にしか到達しない

ことがわかります。

 

3けたの整数のうち、5の倍数は、

995÷5-95÷5=180個 なので、答は180個です。

     

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コメント

(1)の解答において17→22→11→16→8→4→2→1ではなく17→11→8→4→2→1とするのが正しいので(奇数の場合「5を加えて2で割る」一連の操作を1回と見なす)答えは5になります。

投稿: 万打無 | 2010年12月 9日 (木) 01時22分

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