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2009年8月26日 (水)

平面図形の面積 第39問 面積比 (早稲田実業 2008年(平成20年度) 受験算数問題)

問題 (早稲田実業 2008年 受験算数問題) 難易度★★★

 

図のような正六角形ABCDEF と三角形GHI があります。

J,Kはそれぞれ辺AB,AFを2等分する点で、C,D,Eは

三角形GHI の辺上にあり、C,Eを通る直線と辺HIは平行です。

このとき次の問に答えなさい。 

     Pic_0342_2

 (1)正六角形ABCDEFと図形GJAKの面積の比を

    もっとも簡単な整数の比で表しなさい。

 (2)正六角形ABCDEFと三角形GHI の面積の比を

    もっとも簡単な整数の比で表しなさい。 

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解答

 (1)三角形BCJと三角形FEKは合同で、角BCJ=角FEKより

角JCE=角KECとわかる。CEとHIが平行なので、 

角GHI=角GIH で、三角形GHIは二等辺三角形です。

よって、DはHIを2等分する点で、またGD上にAがあります。

また、GDはCE,HIと垂直に交わります。

     Pic_0343

BC、FEとGDが平行なので、三角形BCJと三角形AGJは

3つの角度が等しく、さらにBJ=AJなので合同です。

同様に、三角形GAKと三角形EFKも合同です。

よって、図形GJAKの面積は、三角形BCJ+三角形FEKの

面積と等しく、これは正六角形ABCDEFの面積の1/6です。

 

よって、正六角形ABCDEFと図形GJAKの面積の比は、

     6 : 1 

と表すことができます。

 

 (2)三角形GCEの面積は、図形GJAKの面積が

三角形BCJ+三角形FEKの面積に等しいことから、

正六角形ABCDEFの面積-三角形CDEの面積 で、

三角形CDEの面積は正三角形ABCDEFの面積の1/6です。

よって、三角形GCEの面積は、正六角形ABCDEFの面積の

5/6 です。

 

次に、三角形GCEと三角形GHIは相似なので、この相似比を

求めます。

GDとCEの交点をL とすると、GA=BCなので、

GL:LD=5:1です。よって、GL:GD=5:6より、

   三角形GCEの面積 : 三角形GHIの面積

 = 5×5 : 6×6 = 25 : 36

 

三角形GCEの面積は、正六角形ABCDEFの5/6なので、

   正六角形ABCDEFの面積 : 三角形GHIの面積

 = 30 : 36 = 5 : 6

と表すことができます。 

 

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