« 速さ 第5問 通過算 (洛南高校附属中学 2006年(平成18年度) 算数受験問題) | トップページ | 立体図形の展開図 (切り口を展開図に描く) 第5問 (駒場東邦中学 2008年 中学受験算数問題) »

2009年8月19日 (水)

場合の数 第8問 ある数字を含む整数 (江戸川学園取手中学 2008年 算数受験問題)

問題 (江戸川学園取手中学 2008年 算数受験問題)

     難易度★★★★

 

 0より大きい整数の中で、「1」が使われている整数の個数に

ついて考えます。11などは1個とします。

(1)1から99までの整数で、1が含まれる整数は何個か

   答えなさい。

(2)100から999までの整数で、1が含まれる整数は何個か

   答えなさい。

(3)1が含まれる整数で、3438番目の整数は何か答えなさい。

-------------------------------------------------

解答

 (1) 1、10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,

21,31,41,51,61,71,81,91 と、全部で19個です。

 

<別解> 

Pic_0307

表の色づけされたものが1が含まれる整数です。

1を含まない整数は、9×9=81個あります。

よって、1が含まれる整数は、100-81=19個です。

    

 (2)100から199までの100個と、

200台に19個、300台に19個、、、900台に19個なので、

全部で100+19×8=252個 です。

  

<別解>

3けたの整数をABCとしたとき、Cを省略して、ABだけを

描いて表を作ったとすると、下図のようになります。

Pic_0308

表の「10」は、100、101,102,103・・・109を表します。

すると、緑の部分は、1が含まれる整数が10個あります。

青い部分、たとえば「90」なら、901,902,903・・・909で

1が含まれるのは1個です。

(1)の別解より、緑の部分は19個、青い部分は81個です。

よって、1が含まれる3けたの整数の数は、

緑の部分=19×10

青い部分=81     の合計で、190+81=271個です。

問題は100から999までなので、271-19=252個 です。

    

 (3)(1)、(2)より、0から999までに1のつく整数が

19+252=271個あることがわかりました。

次に、1000から9999までに何個あるか数えると、

1000から1999までに1000個、

2000台に271個、3000台に271個、・・・9000台に271個

0から9999まで合計で271×9+1000=3439個です。

問題は3438番目なので、最後から2番目の整数を探せばよい

ことになります。一番最後は9991、その前は9981なので、

答えは「9981」となります。

    

 <別解> 4けたの整数をABCDとしたとき、CDを省略して

ABのみを描いた表を作ると下図の表のようになります。

Pic_0308_2

この表で、「10」は1000から1099までの100個を表します。

表の緑の整数は、1が含まれる整数が100個です。

青い整数は、たとえば「90」は9000、9001・・・9099までで、

この中には1が含まれるものが、(1)より19個あります。

よって、9999までで1が含まれる整数は、

(1)の別解より、緑の個数=19個、青の個数=81個なので、

緑の部分:19×100=1900

青の部分:81×19=1539   

の合計=1900+1539=3439個 です。

ゆえに、問題の3438番目は、9981となります。

   

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験へ         ←参考になりましたら、応援お願いします
にほんブログ村    ランキング参加中です。

 

Tb_2←イメージでわかる中学受験算数

|

« 速さ 第5問 通過算 (洛南高校附属中学 2006年(平成18年度) 算数受験問題) | トップページ | 立体図形の展開図 (切り口を展開図に描く) 第5問 (駒場東邦中学 2008年 中学受験算数問題) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 場合の数 第8問 ある数字を含む整数 (江戸川学園取手中学 2008年 算数受験問題):

« 速さ 第5問 通過算 (洛南高校附属中学 2006年(平成18年度) 算数受験問題) | トップページ | 立体図形の展開図 (切り口を展開図に描く) 第5問 (駒場東邦中学 2008年 中学受験算数問題) »