数の性質 第１５問 （大阪星光学院 2008年（平成20年度） 受験算数問題）
問題 （大阪星光学院中学 2008年 受験算数問題）
難易度★★★★
８ｇ、９ｇ、１０ｇの重りがたくさんあります。これを用いて
違う重さの重りを作ろうと思います。たとえば、８ｇと９ｇの
重りを１個ずつ用いれば１７ｇの重りができます。
このとき次の問いに答えなさい。
（１）９ｇ、１０ｇの重りだけを使うとき、作れない重りのうち
最も重いものは何ｇか答えなさい。
（２）８ｇ、９ｇの重りだけを使うとき、作れない重りのうち
最も重いものは何ｇか答えなさい。
（３）８ｇ、９ｇ、１０ｇの重りをすべて用いるとき、作れない重りの
うち最も重いものは何ｇか答えなさい。
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解答
（１）９，１０を用いて、足し算だけで作れる整数を考えます。
１けたでは、もちろん９、１０のみです。
１０台では１８（９＋９）、１９（９＋１０）、２０（１０+１０）
２０台では27（9+9+9）、28（9+9+10）、29（9+10+10）、
30（10+10+10）のように、９×○～１０×○までの間なら
作ることができます。これを表にすると、
９０以上になるとすべて表現できます。
９１＝８１＋１０、９２＝８２＋１０ など。
よって、作れない重りで最も重いものは７１ｇ となります。
（２）（１）と同じように８，９で作れる整数について考えます。
すると、８×○～９×○の間は表現できますので、表にすると、
作れない重りで最も重いものは、５５ｇ のものとわかります。
（３）８，９，１０で作れる整数を考えると、（１）の表と（２）の表を
重ねてみればわかります。
青：９，１０ｇで作れるもの
黄：８，９ｇで作れるもの
肌色：両方の重なり。
よって、作れない重りのうち最も重いものは３１ｇ です。
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コメント
表を使わず論理で考えると(1)はXgの重さを作れるなら9gの重りを足すことでX+9gの重さも作ることができます。
よってXg、X+1g、X+2g、…、X+8gの重さを作れるならXg以上の重さを作ることができると言えます。
また9gの重り1個を10gの重りに変えることによって重さを1g増やすことができます。
これらを合わせて考えると、9gの重りが8個ある場合（72g）9gの重りを10gに変えることで1～8gまで自由に増やすことができます。
ゆえに72g以上の重さは作ることができると言えます。
71gを作れるかを考えると、重りを8個使う場合は最低でも9g×8＝72gになる。重りを7個使う場合は最大でも10g×7＝70gにしかならない。
ゆえに71gは作ることができないことが確認できます。
よって答えは71gと分かります。
(2)は8gが7個（56g）あれば9gの重りに変えることによって56～63gを作ることができ、また8gの重りを足すことで64g以上の重さを作れます。
ゆえに56g以上の重さは作ることができる。
重りが7個の場合は8×7＝56なので最低でも56gになる。重りが6個の場合は9×6＝54なので最大でも54gにしかならない。
よって55gは作れないことが分かり、答えは55gと分かります。
(3)は8gの重りを9gもしくは10gの重りに変えることによって1もしくは2g増やすことができる。
よって8gが4個（32g）を9もしくは10gの重りに変えることによって32～40gを作ることができるので32g以上は作ることができる。
重りが4個の場合は8×4＝32なので最低でも32gになる。重りが3個の場合は10×3＝30なので最大でも30gにしかならない。
よって31gは作れないことが分かり、答えは31gになります。
投稿: 万打無 | 2010年12月 9日 (木) 12時19分
万打無さま、コメントありがとうございます。
表を用いない論理的な解法、完璧だと思います。
かなり頭を使う問題だと思いますが、論理的思考が
きたえられそうですね。
またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。
投稿: 桜組 | 2010年12月13日 (月) 12時37分